针对您提出的问题，即公司已经与员工签订了四次固定期限劳动合同，现在员工申请签订无固定期限劳动合同，公司应该如何解决，以下是我为您提供的详细解答：

一、法律依据分析

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同的签订主要基于以下情形：

1. 劳动者在同一用人单位连续工作满十年，且提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者主动提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。

2. 用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有《劳动合同法》第三十九条（如严重违反用人单位规章制度、严重失职等）和第四十条第一项、第二项（如患病、非因工负伤在规定医疗期满后不能从事原工作等）规定的情形，且劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。

3. 用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。

二、针对您公司情况的具体分析

在您公司已经与员工签订了四次固定期限劳动合同的情况下，如果员工没有上述法定过错情形，并且提出了签订无固定期限劳动合同的申请，那么根据法律规定，公司应当与员工签订无固定期限劳动合同。

三、公司应对策略

1. 主动沟通协商：

   • 公司应首先与员工进行友好沟通，了解员工的诉求和期望，同时明确公司的立场和法律规定。
   • 在沟通过程中，公司可以解释无固定期限劳动合同的含义、权利和义务，以及签订无固定期限劳动合同对公司和员工双方的影响。
   • 如果员工坚持要求签订无固定期限劳动合同，且符合法律规定，公司应积极响应并准备相关手续。

2. 审查员工情况：

   • 在决定是否签订无固定期限劳动合同前，公司应仔细审查员工的工作表现、考勤记录、奖惩情况等，确保员工没有法定过错情形。
   • 如果员工存在法定过错情形，公司可以依法拒绝签订无固定期限劳动合同，并按照相关规定处理。

3. 准备相关手续：

   • 如果公司决定与员工签订无固定期限劳动合同，应准备相关的劳动合同文本、员工信息等材料。
   • 在签订过程中，公司应确保合同内容合法、合规，并明确双方的权利和义务。

4. 保留沟通记录：

   • 在整个沟通过程中，公司应保留好与员工的沟通记录、邮件、短信等证据，以备后续可能的维权需要。

四、法律后果与赔偿标准

如果公司拒绝与员工签订无固定期限劳动合同，且员工没有法定过错情形，那么公司的行为可能构成违法。根据法律规定，自应当订立无固定期限劳动合同之日起，公司需向员工每月支付二倍的工资作为赔偿。因此，公司应谨慎对待员工的申请，避免不必要的法律风险。

综上所述，公司应积极响应员工的申请，依法与员工签订无固定期限劳动合同，以维护良好的劳动关系和避免法律风险。