结论：劳动合同到期后未续签但继续用工的，自合同期满次日起至补签书面合同前一日，用人单位需支付双倍工资差额。结合您的情况，若五月底合同到期、六月一日仍在岗且未续签，六月一日当天用人单位应支付双倍工资差额。

法律依据与核心逻辑

根据《劳动合同法》第八十二条及《劳动合同法实施条例》第六条，劳动合同期满后，用人单位未与劳动者续签书面合同但继续用工的，属于“未依法订立书面劳动合同”的情形，需自合同期满次日起向劳动者支付双倍工资差额（即除正常工资外，额外支付一倍工资作为补偿）。

结合您的情况分点说明

1. 时间节点与双倍工资起算
   若劳动合同于五月底到期（假设为5月31日），六月一日（6月1日）劳动者仍在岗且未续签合同，则从6月1日起用人单位需支付双倍工资差额。
   例外情形：若用人单位在6月1日当天或之后与劳动者补签了书面合同（合同期限倒签至原合同到期日之后），则无需支付双倍工资；但若倒签至原合同到期日之前（如倒签至5月31日），仍需支付6月1日起的双倍工资差额。

2. 双倍工资的支付期限
   双倍工资差额的支付期限为“自合同期满次日起至补签书面合同前一日”，但最长不超过12个月。例如：

   • 若6月1日至6月30日未续签，则需支付6月1日至6月30日的双倍工资差额；
     
   • 若超过1年未续签（如到次年5月31日仍未签），则从第2个月起（即第13个月）视为已订立无固定期限劳动合同，但此前12个月的双倍工资差额仍需支付。

3. 实务操作建议

   • 劳动者：若用人单位未续签合同，可保留考勤记录、工资发放记录、工作沟通记录等证据，向用人单位主张双倍工资差额；若协商无果，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
     
   • 用人单位：合同到期前应提前与劳动者沟通续签事宜，避免因疏忽导致支付双倍工资；若劳动者拒绝续签，需留存书面证据（如续签通知、劳动者拒签说明），否则仍可能被认定为用人单位未履行续签义务。

常见误区澄清

• 误区1：认为“合同到期自动延续，无需支付双倍工资”。
  纠正：劳动合同到期后不会自动延续，需双方重新签订书面合同；未签订且继续用工的，才需支付双倍工资。
  
• 误区2：认为“双倍工资需支付到劳动者离职日”。
  纠正：双倍工资的支付期限以“补签书面合同前一日”为限，最长不超过12个月；若补签后继续用工，则无需再支付双倍工资。

若您有具体证据（如合同到期日、未续签的沟通记录等）或进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合细节为您详细分析。