您有权要求工厂支付未签劳动合同的双倍工资差额、经济补偿金，并补缴社会保险。具体分析如下：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您在工厂工作两个多月，工厂未与您签订劳动合同，因此您有权要求工厂支付第二个月（即第二个月整月）的双倍工资差额（即额外支付一个月工资）。

2. 经济补偿金
   工厂无正当理由解除劳动关系，属于违法解除。根据《劳动合同法》第四十七条、第八十七条，您有权要求工厂支付经济补偿金。由于您工作不满六个月，经济补偿金为半个月工资；若工厂无法证明解除合法性（如无书面辞退通知、无合法理由），则需支付双倍经济补偿金（即一个月工资）。

3. 补缴社会保险
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位应当自用工之日起三十日内为劳动者缴纳社会保险。工厂未为您缴纳社保，您有权要求工厂补缴工作期间的社会保险（包括养老保险、医疗保险、失业保险等）。若因未缴社保导致您无法享受社保待遇（如医疗报销），您还可要求工厂赔偿实际损失。

行动建议：

1. 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系及工作期限的证据；
   
2. 与工厂协商：要求工厂支付双倍工资差额、经济补偿金并补缴社保；
   
3. 申请劳动仲裁：若协商无果，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张上述权益。
   

注意事项：

• 劳动仲裁时效为1年，自您知道或应当知道权益被侵害之日起计算；
  
• 若工厂以“试用期不合格”等理由辞退您，需由工厂举证证明您不符合录用条件，否则仍属违法解除。
  

如有进一步疑问或需协助计算具体赔偿金额，可直接向我咨询。