根据您描述的情况，您有权要求工厂支付未签劳动合同的双倍工资差额、经济补偿金，并要求补缴社保。具体分析如下：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您在工厂工作2个多月未签合同，工厂需支付您第2个月起至离职时的双倍工资差额（即1个多月的工资）。

2. 违法解除劳动合同的经济补偿金
   若工厂无正当理由辞退您（如未提前30日通知且无合法理由），属于违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第四十七条、第八十七条，您有权要求工厂支付经济补偿金（工作满1年支付1个月工资，不满6个月支付半个月工资）的2倍作为赔偿。您工作2个多月，可主张1个月工资作为赔偿金。

3. 补缴社保的义务
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十条，用人单位必须自用工之日起30日内为劳动者办理社保登记并缴纳社保。工厂未为您缴纳社保的行为违法，您可要求工厂补缴工作期间的社保（需通过劳动监察部门或社保征收机构强制执行）。

操作建议：

1. 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系及工作时间的证据；
   
2. 协商解决：与工厂沟通，要求支付双倍工资差额、赔偿金并补缴社保；
   
3. 申请仲裁：若协商无果，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁（时效为离职后1年内），主张上述权益；
   
4. 投诉社保：向当地社保部门投诉工厂未缴社保的问题，要求追缴。

注意事项：

• 若工厂主张“试用期不符合录用条件”等理由辞退，需由工厂举证证明其合法性，否则仍构成违法解除；
  
• 经济补偿金的计算基数为您离职前12个月的平均工资（不足12个月的按实际月数计算）；
  
• 社保补缴可能涉及个人承担部分，需配合工厂办理手续。

如有进一步疑问或需要协助计算具体金额，欢迎随时向我咨询。