核心结论：您有权要求用人单位支付未签劳动合同的双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金，并可要求补缴社保。具体分析如下：
1. 未签劳动合同的双倍工资差额
根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资。
- 计算方式：您工作5个月，第1个月不计算双倍工资，后4个月可主张双倍工资差额（即额外支付4个月工资）。
- 证据要求：需提供能证明劳动关系的材料（如工资流水、工牌、考勤记录、工作邮件等）。
2. 违法解除劳动合同的赔偿金
若用人单位无正当理由辞退您（如未提前30日通知且无法定事由），属于违法解除，需支付2倍经济补偿金。
- 经济补偿金标准：工作满5个月，按0.5个月工资计算，违法解除则赔偿1个月工资（即2×0.5个月）。
- 关键点：用人单位需证明辞退合法（如严重违纪、不能胜任工作等），否则构成违法解除。
3. 补缴社保的义务
根据《社会保险法》，用人单位必须为劳动者缴纳社保。您可要求用人单位补缴工作期间的社保（含养老、医疗、失业、工伤、生育保险）。
- 操作方式：向当地社保部门投诉，由社保部门责令用人单位补缴。
4. 维权步骤建议
- 收集证据：工资流水、工作记录、辞退通知（如有）、同事证言等。
- 协商解决：与用人单位沟通，要求支付赔偿并补缴社保。
- 投诉/仲裁：若协商无果，可向劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁（需在离职后1年内提出）。
5. 注意事项
- 时效性：劳动仲裁时效为1年，自离职之日起计算。
- 证据充分性：未签合同需证明劳动关系，建议优先通过银行转账记录、工作群聊天记录等固定证据。
如有进一步疑问或需协助计算具体金额，可直接向我提问，我会结合您的实际情况详细解答。