根据中国《劳动合同法》规定，您有权主张未签书面劳动合同的双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金，具体分析如下：

1. 未签书面劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。您工作5个月未签合同，可主张4个月工资的差额赔偿（第2个月至第5个月，首月为宽限期不计入）。
   计算方式：以您实际月工资为基数（如基本工资+固定补贴等），乘以4个月。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金
   若用人单位无法证明辞退您的合法理由（如严重违纪、不能胜任工作等），则属于违法解除，需支付赔偿金。根据《劳动合同法》第47、87条，赔偿金为1个月工资（工作满6个月以上才按2个月计算，您工作5个月按1个月计）。
   计算方式：以您离职前12个月的平均工资为基数（含奖金、提成等），乘以1个月。

3. 其他可能主张的权益

• 未休年假工资：若您符合连续工作满1年的条件，可主张未休年假的3倍工资（但您工作仅5个月，通常不满足条件）。
  
• 加班费：如有加班证据（如考勤记录、加班审批单），可主张加班工资。
  
• 社保补缴：用人单位必须为您补缴工作期间的社会保险。

行动建议：

1. 收集证据：工资条、考勤记录、工作证、辞退通知、同事证言等证明劳动关系及工作时间的材料；
   
2. 与用人单位协商，要求支付双倍工资差额及赔偿金；
   
3. 若协商无果，向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁（需在离职后1年内提出）。
   

注意事项：

• 若用人单位主张“已口头约定合同”或“您拒绝签合同”，需由其举证，否则不影响双倍工资主张；
  
• 赔偿金与经济补偿金不同，违法解除才适用赔偿金（2倍经济补偿标准）。
  

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