核心结论：工作5个月被辞退且没有签订劳务合同，您有权要求用人单位支付未签书面劳动合同的双倍工资差额，以及可能存在的违法解除劳动合同的赔偿金。具体分析如下：

1. 未签书面劳动合同的双倍工资差额

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 计算方式：由于您已经工作了5个月，用人单位未与您签订书面劳动合同，因此，您有权要求用人单位支付从第二个月起至第五个月（共4个月）的双倍工资差额。即，除了您已经获得的正常工资外，用人单位还需额外支付4个月的工资作为赔偿。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金

   • 前提条件：要确定用人单位是否违法解除劳动合同，需要看用人单位辞退您的理由是否合法。如果用人单位无法提供合法理由或理由不充分，则可能构成违法解除。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”以及第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
   • 计算方式：经济补偿标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。由于您工作了5个月，如果用人单位违法解除劳动合同，您有权要求用人单位支付1个月工资（即半个月工资的两倍）作为赔偿金。但需注意，这里的“一个月工资”是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，如果工作时间不满十二个月，则按照实际工作的月数计算平均工资。

行动建议：

• 收集证据：首先，您需要收集能够证明您与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
• 协商解决：尝试与用人单位协商，要求其支付未签书面劳动合同的双倍工资差额和违法解除劳动合同的赔偿金。
• 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。

在处理此类纠纷时，请务必保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您在处理过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。