工厂未购买社保、未签劳动合同且被辞退的情况下，劳动者可主张的补偿包括：未签劳动合同的双倍工资差额、经济补偿金、补缴社保，以及可能存在的赔偿金。具体分析如下：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付双倍工资（扣除已支付部分）。

   • 计算方式：从入职第2个月起至第12个月，每月按应发工资标准补发差额（例如：月工资5000元，则最多可主张11个月×5000元=55000元）。
     
   • 注意事项：需在离职后1年内申请劳动仲裁，否则可能超过时效。

2. 经济补偿金
   若工厂违法解除劳动合同（如无合法理由辞退），劳动者可主张赔偿金（即双倍经济补偿金）；若工厂合法解除（如劳动者严重违纪），则需支付经济补偿金。

   • 经济补偿金标准：按工作年限计算，每满1年支付1个月工资（6个月以上按1年算，不满6个月支付半个月工资）。
     
   • 赔偿金标准：经济补偿金的2倍（例如：工作3年，经济补偿金为3个月工资，赔偿金则为6个月工资）。
     
   • 关键点：工厂需证明辞退合法性（如规章制度、违纪证据等），否则可能被认定为违法解除。

3. 补缴社保
   根据《社会保险法》，用人单位必须为劳动者缴纳社保。若未缴纳，劳动者可向当地社保部门投诉，要求工厂补缴（需提供劳动关系证明，如工资条、工作证等）。

   • 注意事项：社保补缴不直接涉及现金补偿，但未缴纳期间若发生医疗、工伤等事故，工厂可能需承担赔偿责任。

4. 其他可能主张

   • 未休年假工资：若工作满1年未享受年假，可主张300%日工资的补偿（扣除已支付部分）。
     
   • 加班费：若存在加班且未支付加班费，可主张相应补偿。
     

行动建议：

1. 收集证据：劳动合同（如有）、工资条、考勤记录、工作证、辞退通知等；
   
2. 优先协商：与工厂沟通，明确诉求（如补缴社保、支付补偿）；
   
3. 申请仲裁：若协商无果，可在离职后1年内向劳动仲裁委提起仲裁，主张上述权益。
   

如有进一步疑问（如证据收集、补偿计算细节等），可直接向我咨询，我会结合具体情况为您详细解答。