针对您提出的“家里老人生病辞职不批怎么办”的问题，这确实是一个涉及劳动权益与家庭责任的复杂情境。以下是我为您提供的详细解答和建议：

一、理解公司立场与规章制度

首先，我们需要理解公司的立场。公司作为一个经济组织，有其自身的运营需求和规章制度。员工辞职，尤其是未经批准擅自离职，可能会对公司的工作安排、团队稳定性以及业务连续性造成影响。因此，公司通常会有相应的辞职流程和审批机制。

二、分析您的具体情况

在您的情况下，家里老人生病需要照顾，这是一个非常特殊且紧急的家庭事务。根据劳动法的相关规定，员工在面临家庭重大变故时，有权向公司申请事假或调整工作安排，以便处理家庭事务。然而，这并不意味着您可以直接辞职而不受任何约束。

三、建议的解决步骤

1. 与公司沟通：

   • 首先，建议您与公司的人力资源部门或直接上级进行坦诚的沟通，说明家里老人的病情以及您需要照顾的紧迫性。
   • 提出您的具体需求，比如希望请假一段时间、调整工作安排（如远程办公、兼职等）或者暂时离职但保留职位等。

2. 了解公司政策：

   • 询问公司是否有关于员工家庭变故的特殊政策或规定，比如是否提供带薪事假、无薪事假、灵活工作安排等。
   • 了解公司对于辞职的具体流程和审批要求，以便您按照规定操作。

3. 提供证明材料：

   • 如果可能的话，提供老人的病历、医院证明等相关材料，以证明您需要照顾的紧迫性和合理性。

4. 协商解决方案：

   • 在了解公司政策和您的具体需求后，尝试与公司协商一个双方都能接受的解决方案。比如，公司可能同意您请假一段时间，或者调整您的工作安排以便您能更好地照顾老人。

5. 考虑法律途径：

   • 如果公司拒绝您的合理请求，并且您认为公司的行为违反了劳动法或相关规章制度，您可以考虑咨询劳动法律师或向当地劳动监察部门投诉。
   • 在极端情况下，如果公司违法解除劳动合同，您有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。

四、参考案例与启示

您提到的北京市第三中级人民法院审结的劳动争议案是一个很好的参考。在这个案例中，法院认为公司未对员工的合理请假行为进行理解和宽容，其机械适用规章制度作出的辞退行为显属不当，属于违法解除。这启示我们，在处理类似问题时，公司应更加人性化地考虑员工的实际情况，而员工也应积极与公司沟通并寻求合理解决方案。

五、总结与建议

总之，面对家里老人生病需要照顾而公司不批准辞职的情况，建议您首先与公司进行坦诚沟通，了解公司政策并提供证明材料。尝试协商一个双方都能接受的解决方案，并在必要时考虑法律途径维护自己的合法权益。同时，也希望公司能够更加人性化地考虑员工的实际情况，共同构建和谐用工关系。