核心结论：可以处理，但需分情况讨论，具体如下：

1. 工伤认定时效问题
   根据《工伤保险条例》第十七条，单位应在事故发生后30日内申请工伤认定；若单位未申请，劳动者或其近亲属可在1年内直接向社保部门申请。若超过1年时效，原则上社保部门不再受理工伤认定申请，但存在例外情形（如因不可抗力、人身自由受限等导致延误），可尝试通过法律途径争取补救。

2. 劳动关系与工资发放的影响
   单位按月发工资的行为，可能被认定为“默认劳动关系存续”，但不等于单位承认工伤事实。若劳动者未在1年内申请工伤认定，后续主张工伤待遇时，需证明：

   • 事故属于工伤范围（如上下班途中非本人主要责任的交通事故）；
     
   • 超过时效存在合理理由（如单位承诺处理但拖延、劳动者不知晓权利等）。
     法院可能根据公平原则，酌情支持部分赔偿（如医疗费、停工留薪期工资），但一次性伤残补助金、就业补助金等可能因未认定工伤而无法主张。

3. 诉讼时效与证据保留

   • 诉讼时效：人身损害赔偿请求权适用3年诉讼时效（自知道或应当知道权利受损之日起算）。若未认定工伤，可尝试以“人身损害赔偿”为由起诉单位，但需证明单位存在过错（如未提供安全劳动条件）。
     
   • 证据保留：关键证据包括事故现场照片、医疗记录、同事证言、工资发放记录等。若单位未签订劳动合同，需先通过劳动仲裁确认劳动关系。

行动建议：

1. 立即收集证据（如事故证明、医疗记录、工资流水、单位沟通记录等）；
   
2. 尽快向当地社保部门咨询是否可补办工伤认定（重点说明延误原因）；
   
3. 若工伤认定无望，可委托律师评估是否符合人身损害赔偿条件，并计算赔偿金额；
   
4. 同步与单位协商，争取书面承诺赔偿（避免口头协议）。
   

提示：工伤处理涉及程序严格、证据要求高，建议尽早启动法律程序，避免因拖延导致权利丧失。如有进一步疑问，可直接向我提供具体细节（如事故时间、单位态度、现有证据等），我会为您定制解决方案。