当您遇到劳动合同到期后单位既不续签也不给予赔偿金，同时还不出具解聘通知书的情况时，您可以按照以下步骤来依法维护自己的合法权益：

一、明确法律依据与自身权益

首先，您需要了解《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据该法，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意续订，否则在劳动合同期满终止时，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准是按照您在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。

二、与公司进行友好协商

1. 主动沟通：您可以以书面形式（如邮件、函件）向公司的人力资源部门或上级领导明确询问续签意向，并表达您对于经济补偿的期望。
2. 保留证据：在沟通过程中，务必保留好所有的沟通记录，包括邮件、短信、微信聊天记录等，这些将作为后续维权的重要证据。

三、收集并整理相关证据

为了证明您的劳动关系以及工作年限，您需要收集以下证据：

• 劳动合同：证明您与公司的劳动关系。
• 工资条、工资转账记录：证明您的工资收入情况。
• 工作证、考勤记录：证明您在公司的工作时间和身份。
• 其他与工作相关的证据：如工作邮件、项目文件等，进一步证明您的工作内容和贡献。

四、向劳动监察部门投诉

如果公司拒绝合理沟通和协商，您可以向当地的劳动监察部门投诉。投诉时，您需要提交上述收集到的证据材料，并详细说明情况。劳动监察部门有权对公司的用工情况进行调查，并责令其改正违法行为，同时给予相应的处罚。

五、申请劳动仲裁

如果投诉未能解决问题，您可以向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要准备仲裁申请书、身份证明以及相关证据材料。仲裁申请书应详细说明您的仲裁请求、事实和理由。仲裁委员会将依法审理并作出裁决。

六、考虑法律诉讼

如果对仲裁裁决不满或用人单位不履行支付义务，您还可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提交起诉状及相关证据材料，并按照法院的审理程序进行。

七、注意事项

1. 保持冷静理性：在整个维权过程中，务必保持冷静和理性，避免采取过激行为。
2. 咨询专业律师：如果您对法律程序或自身权益有疑问，建议及时咨询专业劳动法律师，以获取更具体、针对性的建议和指导。
3. 注意时效：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，务必在规定时效内采取行动。

综上所述，面对劳动合同到期公司不续签也不给予赔偿金且不出具解聘通知书的情况，您应依法有序地采取相应措施来维护自身合法权益。通过与公司协商、收集证据、向劳动监察部门投诉以及申请劳动仲裁等方式，您可以有效地解决这一问题，并确保自己的权益得到充分保障。