结论：针对您在厂子工作半个月后被老板娘解雇的情况，您可以根据实际情况采取以下措施来维护自己的合法权益。
一、确认劳动关系及工作证据
收集证据：首先，您需要收集能够证明您与该厂子存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作照片或视频、与老板娘或同事的聊天记录等。这些证据将有助于您后续维权。
确认劳动关系：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使您未签订书面劳动合同，只要您实际提供了劳动，就与用人单位形成了事实劳动关系。
二、分析解雇原因及合法性
合法解雇：如果老板娘解雇您是基于合法的理由，如您严重违反厂规厂纪、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任等，那么解雇可能是合法的。但即便如此，老板娘也应按照法律规定支付您应得的工资及可能的经济补偿。
非法解雇：如果老板娘无正当理由解雇您，或者解雇理由不合法（如因您怀孕、患病等非过错性原因解雇），则构成非法解雇。在这种情况下，您有权要求老板娘支付赔偿金，并可能要求恢复劳动关系。
三、维权途径及建议
协商：您可以首先尝试与老板娘进行协商，要求其支付您应得的工资及可能的赔偿金。在协商过程中，您可以出示之前收集的证据来支持自己的主张。
投诉：如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查和处理，并可以要求用人单位支付拖欠的工资及赔偿金。
申请劳动仲裁：如果投诉仍未解决问题，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁是解决劳动争议的一种有效方式，其裁决具有法律效力。在申请劳动仲裁时，您需要提交仲裁申请书及相关的证据材料。
提起诉讼：如果您对劳动仲裁的裁决不服，还可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。通过司法程序来维护自己的合法权益。
四、注意事项
及时行动：在发现自己的权益受到侵害后，您应及时采取行动来维护自己的权益。拖延时间可能会导致证据丢失或维权难度增加。
保留证据：在整个维权过程中，您都需要妥善保留好相关的证据材料。这些证据将是您维权成功的重要保障。
寻求专业帮助：如果您在维权过程中遇到困难或不确定如何操作，可以寻求专业律师的帮助。作为专注于劳动纠纷领域的律师，我可以为您提供专业的法律咨询和代理服务。
五、具体计算（如涉及赔偿金）
如果您因非法解雇而要求赔偿金，赔偿金的计算通常与您的工作年限和月工资有关。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。如果是非法解雇，赔偿金通常是经济补偿的两倍。但具体计算还需根据您的实际情况和当地的相关规定来确定。
举例：假设您在厂子工作了半个月，月工资为3000元，且老板娘无正当理由解雇您。那么，您可能获得的经济补偿为半个月工资，即1500元。如果是非法解雇，赔偿金则可能为3000元（经济补偿的两倍，但考虑到您工作不满六个月，实际可能按半个月工资的两倍即3000元中的相关比例或最低工资标准等具体规定来计算，具体需依据当地法规）。不过，由于您工作不满六个月，实际赔偿金额可能还需根据当地的具体规定和实际情况来确定。
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