当公司因拖延发放工资而导致员工提出解除劳动合同时，公司需要承担的经济赔偿责任主要包括支付拖欠的工资以及经济补偿金，特定情况下还可能需要加付赔偿金。以下是对这一问题的详细解析：

一、支付拖欠的工资

法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位有义务按时足额支付劳动者的劳动报酬。

实践操作：若公司确实存在拖延发放工资的情况，员工首先有权要求公司全额补发拖欠的工资。这是员工最基本的权益，也是公司应尽的义务。

二、支付经济补偿金

法律条款：

• 《劳动合同法》第三十八条规定，当用人单位未及时足额支付劳动报酬时，劳动者有权解除劳动合同。
• 《劳动合同法》第四十六条则进一步规定，在此情况下，用人单位应向劳动者支付经济补偿。

计算标准：

• 经济补偿的计算依据是劳动者在本单位工作的年限。每满一年，公司需支付一个月工资作为经济补偿。
• 对于工作六个月以上但不满一年的部分，按一年计算；对于不满六个月的部分，则支付半个月工资的经济补偿。
• 月工资的定义是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准则按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高不超过十二年。

实例说明：假设某员工在公司工作了4年2个月，月工资为6000元，因公司拖延发放工资而解除劳动合同。那么，公司应支付该员工4.5个月工资作为经济补偿，即27000元（4.5×6000）。

三、加付赔偿金（特定情况下）

法律依据：根据《劳动合同法》第八十五条的规定，若劳动行政部门责令用人单位限期支付劳动报酬后，用人单位逾期仍不支付，则需按应付金额的百分之五十至百分之一百向劳动者加付赔偿金。

注意事项：

• 员工不能直接通过劳动仲裁或诉讼要求加付赔偿金，必须先由劳动行政部门责令用人单位限期支付。
• 加付赔偿金的计算依据是应付金额，包括拖欠的工资和经济补偿。

实例分析：假设公司拖欠某员工工资10000元，且经劳动行政部门责令后仍未支付。同时，该员工因公司拖欠工资而解除劳动合同，公司应支付其经济补偿20000元。那么，公司除需支付拖欠的工资和经济补偿共30000元外，还可能需支付15000元至30000元的赔偿金。

四、特殊情况与注意事项

• 若公司因不可抗力等合法合理原因（如银行系统故障且公司积极解决）导致工资未能按时发放，可能不需承担赔偿责任。
• 公司若确实存在经营困难，经与工会协商一致后可延期支付工资，但通常不得超过一个月。

五、维权途径与建议

1. 收集证据：员工应保留好劳动合同、工资条、银行流水记录、考勤记录等相关证据，以证明劳动关系及工资被拖欠的事实。
2. 向劳动行政部门投诉：作为首选途径，员工可向当地劳动监察部门举报公司的违法行为，要求其及时支付工资。
3. 申请劳动仲裁：若投诉无果，员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付拖欠的工资和经济补偿金。
4. 提起诉讼：对仲裁裁决不服的员工，可在法定期限内向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的合法权益。

综上所述，当公司因拖延发放工资而导致员工提出解除劳动合同时，公司需要承担支付拖欠工资和经济补偿金的责任，特定情况下还可能需要加付赔偿金。员工应充分了解自身权利，并依法采取相应措施维护自己的合法权益。