结论：教师按档案年龄应退休而单位迟通知一月办理退休的，迟退这一月的工资一般不需要退还，但具体情况还需结合单位规章制度、劳动合同以及实际工作情况等因素综合判断。
分析说明：
从法律原则角度：
- 劳动者按照法定或约定的年龄退休，是其应享有的权利。在达到退休年龄时，劳动者有权停止工作并享受退休待遇。
- 单位因迟通知导致教师迟退一个月，这并非教师的过错。教师在这一个月内仍然提供了劳动，因此有权获得相应的劳动报酬。
从单位规章制度和劳动合同角度：
- 如果单位的规章制度或劳动合同中明确规定了退休手续的办理时间和工资支付方式，且这些规定不违反法律法规的强制性规定，那么应按照这些规定执行。
- 若规章制度或劳动合同中未明确规定，或者规定不明确，那么应倾向于保护劳动者的合法权益，即教师有权获得迟退这一月的工资。
从实际工作情况角度：
- 如果教师在迟退的这一个月内确实提供了正常的劳动，且没有违反单位的规章制度或劳动合同的约定，那么单位应当支付这一个月的工资。
- 如果教师在这一个月内没有提供劳动，或者提供的劳动不符合单位的要求，那么单位可能有权根据实际情况调整工资支付。但这种情况需要单位提供充分的证据来证明。
特殊场景：
- 如果单位能够证明迟通知是由于不可抗力或其他非单位原因造成的，且教师同意在迟退期间不领取工资或领取部分工资，那么可能存在工资调整的情况。但这种情况需要双方协商一致，并签订书面协议。
行动建议：
- 教师方面：如果遇到这种情况，首先应当与单位进行沟通，了解迟通知的原因和单位的处理意见。如果单位拒绝支付迟退这一月的工资，教师可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 单位方面：单位应当加强内部管理，确保退休手续的及时办理，避免因迟通知而引发的劳动纠纷。同时，单位也应当完善规章制度和劳动合同，明确退休手续的办理时间和工资支付方式，以减少不必要的争议。
法律依据：
- 虽然具体的法律依据可能因地区和具体案件情况而有所不同，但一般来说，劳动者的工资支付应当遵循《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。这些法律保护劳动者的合法权益，确保劳动者在提供劳动后能够获得相应的报酬。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。