结论：在符合法定条件的情况下，员工在第四次签订劳动合同时，有权要求签订无固定期限劳动合同，公司不能拒绝。
法律依据与分析
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当劳动者与用人单位已连续订立二次固定期限劳动合同，并且劳动者没有违反《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度、严重失职等）和第四十条第一项、第二项（如不能胜任工作等）规定的情形时，劳动者在续订劳动合同时有权要求签订无固定期限劳动合同。这是法律赋予劳动者的权利，旨在保护劳动者的就业稳定性。
具体应用与注意事项
劳动者的选择权：
- 在满足上述条件的情况下，当面临第四次劳动合同签订时，劳动者有权明确拒绝签订固定期限劳动合同，并要求与用人单位签订无固定期限劳动合同。
- 劳动者应了解自己的权利，并在必要时向用人单位明确表达自己的诉求。
用人单位的义务：
- 用人单位在劳动者提出签订无固定期限劳动合同的要求时，应当认真审查劳动者的条件是否符合法律规定。
- 除非劳动者自愿选择固定期限合同，否则用人单位应当同意并签订无固定期限劳动合同。
法律后果：
- 如果用人单位违反法律规定，拒绝与劳动者签订无固定期限劳动合同，那么自应当订立无固定期限劳动合同之日起，用人单位需要向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。
- 这一赔偿标准旨在惩罚用人单位的违法行为，并保障劳动者的合法权益。
维权途径：
- 劳动者在面对用人单位的违法行为时，首先可以尝试与用人单位进行协商，寻求友好解决。
- 如果协商无果，劳动者可以向当地的劳动监察部门投诉，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在维权过程中，劳动者应保留好相关证据，如劳动合同、工资条、工作证等，以证明自己的劳动关系和用人单位的违法行为。
实际操作建议
- 提前准备：在劳动合同即将到期前，劳动者应提前了解自己的权利和用人单位的义务，做好签订无固定期限劳动合同的准备。
- 明确表达：在与用人单位沟通时，劳动者应明确表达自己的诉求和依据，避免模糊不清或产生误解。
- 保留证据：无论是在协商、投诉还是仲裁过程中，劳动者都应保留好相关证据，以备不时之需。
总结：劳动者在第四次签订劳动合同时，只要满足法律规定的条件，就有权拒绝签订固定期限劳动合同，并要求签订无固定期限劳动合同。这是劳动者的合法权益，用人单位应当严格遵守并执行。如果用人单位拒绝签订，劳动者可以通过协商、投诉或仲裁等途径来维护自己的合法权益。如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。