结论：连续签订6次固定期限劳动合同后，单位不续签合同的行为可能涉嫌违法，您有权要求单位签订无固定期限劳动合同或主张相应的经济补偿。以下是具体分析：

1. 法律对连续签订固定期限劳动合同次数的规定
   根据《劳动合同法》第十四条，用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者提出续订无固定期限劳动合同，且不存在法定例外情形（如严重违反规章制度、不能胜任工作等），用人单位应当签订无固定期限劳动合同。
   关键点：

   • 法律未直接限制“签订次数”，但通过“连续二次”后赋予劳动者选择权，间接限制了用人单位通过多次固定期限合同规避无固定期限合同的行为。
     
   • 实践中，若用人单位与劳动者连续签订6次固定期限合同，可能被认定为“以合法形式掩盖非法目的”，违反立法本意，劳动者可主张签订无固定期限合同。

2. 单位不续签合同的法律后果

   • 若您符合签订无固定期限合同的条件（如连续工作满10年、连续二次固定期限合同后提出续订等），单位拒绝续签的，属于违法终止劳动合同。
     救济方式：
     
     • 要求单位继续履行合同（即签订无固定期限合同）；
       
     • 若不要求继续履行，可主张单位支付赔偿金（标准为经济补偿金的2倍，经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资）。
       
   • 若您不符合签订无固定期限合同的条件（如未提出续订要求、存在法定解除情形等），单位不续签的，属于合法终止，但需支付经济补偿金（标准同上）。

3. 实务建议

   • 收集证据：保存所有劳动合同、工资记录、工作证明等材料，证明连续签订固定期限合同的事实及工作年限。
     
   • 与单位协商：明确要求签订无固定期限合同，并留存书面沟通记录（如邮件、微信等）。
     
   • 申请劳动仲裁：若协商无果，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张签订无固定期限合同或赔偿金。
     
   • 注意时效：劳动争议申请仲裁的时效为1年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。

总结：单位在您符合条件时拒绝续签合同，可能构成违法终止，您有权通过协商、仲裁等途径维护权益。具体操作需结合您的合同条款、工作年限等细节，如有疑问可进一步向我咨询。