结论：您在同一间学校后勤连续工作了五年，今年工作一个月后没有合同被辞退，是有可能获得补偿的，具体补偿情况需根据实际情况判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、关于未签合同的情况
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
对您的影响：
- 您今年工作了一个月，如果这一个月内学校未与您签订书面劳动合同，那么从第二个月开始（虽然您只工作了一个月，但理论上存在这种可能性，即如果学校在您工作满一个月后仍未签合同且继续用工），学校应当向您支付二倍的工资。不过，由于您实际只工作了一个月，且未提及学校是否在后续继续用工，所以直接的双倍工资赔偿可能不适用，但此条款说明了未签合同的法律后果，体现了法律对劳动者权益的保护。
- 更关键的是，未签合同并不影响您与学校之间事实劳动关系的成立。您已经为学校提供了劳动，学校也接受了您的劳动，双方就形成了事实劳动关系。
二、关于被辞退的情况
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿的标准根据劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
对您的影响：
- 您在学校后勤连续工作了五年，如果学校无正当理由辞退您，那么学校应当向您支付经济补偿，且由于学校是违法辞退，所以应当支付赔偿金，即经济补偿标准的二倍。
- 经济补偿的计算：您工作了五年，所以经济补偿为5个月工资；赔偿金则为经济补偿的二倍，即10个月工资。但需要注意的是，这里的“工资”是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 另外，如果您今年工作的这一个月也计算在内（且假设这一个月学校未支付工资或支付不足），那么在计算赔偿金时，这一个月的工资也应当考虑在内，但具体影响需根据实际情况判断。
三、特殊情况考虑
- 如果学校能够证明辞退您是出于合法理由（如您严重违反学校规章制度、严重失职等），那么学校可能不需要支付赔偿金。但学校需要承担举证责任，证明其辞退行为的合法性。
四、建议与行动
收集证据：
- 收集您在学校工作的证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等，以证明您与学校之间存在事实劳动关系以及您的工作年限。
与学校协商：
- 尝试与学校进行协商，要求学校支付应得的赔偿金。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达您的诉求和依据。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求学校支付赔偿金。在申请劳动仲裁时，需要提交仲裁申请书、相关证据材料等。
寻求法律帮助：
- 如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和支持。
最后，希望您能够顺利解决这个问题，维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。