结论：在医院连续签订了6年劳动合同后，您是有资格签订无固定期限劳动合同的，但具体能否签订还需看您是否提出签订要求以及医院是否同意。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。同时，该法也规定了应当订立无固定期限劳动合同的几种情形，其中包括“连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的”。虽然您的情形并非直接对应这一条款（因为您是连续签订了6年，而非两次固定期限后），但该条款体现了法律对于长期稳定劳动关系的保护倾向。更重要的是，只要劳动者在用人单位连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同后再次续订的（且满足其他条件），劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。在您的情况下，虽然不是直接基于“连续两次固定期限”后，但连续6年的工作年限已经远超“连续工作满十年”这一更宽泛的标准（当然，此处“连续工作满十年”是另一种独立情形，您的6年虽未直接满足但说明了长期工作的性质），且核心在于您有权提出签订无固定期限劳动合同的要求，只要医院没有合法理由拒绝，且您不存在法律规定的用人单位可以解除劳动合同的情形。
二、实际操作
提出要求：在您与医院现有的劳动合同即将到期前，您可以向医院提出签订无固定期限劳动合同的要求。
协商一致：医院在收到您的要求后，会与您进行协商。如果医院同意，那么双方可以签订无固定期限劳动合同。
医院拒绝的情况：如果医院拒绝签订无固定期限劳动合同，并且没有合法理由（如您存在严重违反医院规章制度等情形），那么您有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求医院签订无固定期限劳动合同或承担相应的法律责任。
三、注意事项
保留证据：在提出签订无固定期限劳动合同的要求时，建议您保留好相关的书面证据，如邮件、短信、聊天记录等，以备不时之需。
了解法律：在签订劳动合同前，建议您仔细阅读《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，了解自己的权利和义务。
及时咨询：如果您在签订劳动合同过程中遇到任何问题或疑问，可以及时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。
最后，需要强调的是，虽然您有资格提出签订无固定期限劳动合同的要求，但具体能否签订还需看医院的意愿和双方的协商结果。如果医院拒绝签订且没有合法理由，您可以通过法律途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。