针对私人店铺员工受伤未住院且无劳动合同的情况，处理方式如下：

1. 确认劳动关系
   即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系（如工资支付记录、考勤记录、工作证等），员工仍可主张工伤赔偿。根据《劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。建议优先收集能证明劳动关系的证据，例如：

   • 工资转账记录、微信/支付宝工资发放截图
     
   • 工作服、工牌、考勤表、工作群聊天记录
     
   • 同事证言（需证人出庭作证或书面证词）
     

2. 申请工伤认定
   根据《工伤保险条例》第十四条，在工作时间和工作场所内因工作原因受伤的，应认定为工伤。即使未住院，只要符合工伤情形（如骨折、挫伤等需医疗诊断证明），仍可申请工伤认定。流程如下：

   • 步骤1：员工或其家属在受伤后1年内，向店铺所在地社保部门提交《工伤认定申请表》、劳动关系证明、医疗诊断证明等材料。
     
   • 步骤2：社保部门调查后作出认定结论（通常60日内完成）。若店铺否认劳动关系，需先通过劳动仲裁确认劳动关系，再申请工伤认定。
     

3. 赔偿项目与计算
   若认定为工伤，员工可主张以下赔偿（即使未住院）：

   • 医疗费：凭票据报销（包括门诊、检查、药品等费用）。
     
   • 停工留薪期工资：按受伤前12个月平均工资支付，期限由医疗机构出具证明（如医生建议休息2个月，则支付2个月工资）。
     
   • 护理费：若需专人护理（如行动不便），按当地护工标准支付。
     
   • 一次性伤残补助金：若构成伤残（需劳动能力鉴定），按伤残等级支付（如十级伤残为7个月本人工资）。
     

4. 若店铺拒绝赔偿

   • 协商：可先与店铺协商，明确赔偿项目和金额，并签订书面协议。
     
   • 投诉：向当地劳动监察大队投诉（电话12333），要求店铺配合工伤认定和赔偿。
     
   • 仲裁/诉讼：若协商无果，可申请劳动仲裁（确认劳动关系、主张工伤赔偿）；对仲裁结果不服的，可向法院起诉。
     

特别提醒：

• 即使未签订劳动合同，店铺仍需承担工伤赔偿责任。若店铺未为员工缴纳工伤保险，所有赔偿由店铺自行承担。
  
• 建议员工在受伤后尽快固定证据（如拍照、录音、保存医疗记录），避免店铺否认事实。
  

如有进一步疑问或需要协助准备材料，可直接向我咨询。