针对私人公司老板不给开辞退通知书的问题，你可以通过以下途径来解决：

1. 与公司协商：

   • 首先，尝试与老板或公司的人力资源部门进行友好协商，明确表达你的需求，即要求公司出具正式的辞退通知书。在协商过程中，可以强调辞退通知书对于你后续维权（如申请失业保险、提起劳动仲裁等）的重要性。
   • 如果公司同意出具辞退通知书，问题便迎刃而解。记得在收到通知书后，仔细核对通知书上的内容，确保其准确无误。

2. 收集证据，准备维权：

   • 如果公司拒绝出具辞退通知书，你需要开始收集其他能够证明你已被辞退的证据。这些证据可能包括但不限于：与老板的聊天记录、邮件往来、同事的证言、公司内部的公告或通知等。
   • 同时，保留好你的工作证、工资条、劳动合同等文件，这些文件在后续的维权过程中可能会起到关键作用。

3. 向劳动监察部门投诉：

   • 在收集到足够证据后，你可以向当地的劳动监察部门投诉公司的违法行为。劳动监察部门有权对公司的违法行为进行调查，并要求公司改正。
   • 在投诉时，你需要提供详细的证据材料，并说明公司的违法行为以及你因此遭受的损失。劳动监察部门会根据调查结果，依法对公司进行处理。

4. 申请劳动仲裁：

   • 如果劳动监察部门的处理未能满足你的需求，或者你认为公司的违法行为已经严重侵犯了你的合法权益，你可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
   • 在申请劳动仲裁时，你需要提交仲裁申请书、证据材料以及你的身份证明等文件。劳动仲裁委员会会依法对案件进行审理，并作出裁决。
   • 如果仲裁裁决支持了你的诉求，公司仍然拒绝履行义务，你还可以向人民法院申请强制执行。

5. 法律后果提示：

   • 公司不出具辞退通知书可能构成违法解除劳动合同，根据《劳动合同法》的相关规定，公司可能需要支付你经济补偿金或赔偿金。具体金额取决于你的工作年限、工资水平以及公司的违法行为性质等因素。
   • 同时，如果公司因此给你造成了其他损失（如失业期间的收入损失等），你也可以在劳动仲裁或诉讼中要求公司进行赔偿。

在处理此类问题时，建议你保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果你在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。