结论：员工在公司工作八年，签了两次合同，若员工和公司不再续签且公司辞退员工，员工能拿到的补偿或赔偿取决于辞退的具体原因和情况。
分析：
合同到期不续签：
- 如果劳动合同到期，公司提出不续签，根据《劳动合同法》的相关规定，公司应当向员工支付经济补偿。经济补偿的计算方式是：按照员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。因此，员工在公司工作八年，应获得八个月工资的经济补偿。
- 如果员工提出不续签，且公司没有降低劳动合同约定条件或存在其他违法行为，则公司无需支付经济补偿。
公司违法辞退：
- 如果公司违法辞退员工，即没有合法理由或未按照法定程序进行辞退，员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿的两倍，即员工在公司工作八年，应获得十六个月工资的赔偿金。
员工无过错但公司单方面解除合同：
- 即使员工没有过错，如果公司因经营困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等原因需要裁员，且符合《劳动合同法》规定的程序和条件，公司可以单方面解除合同，但仍需支付经济补偿，计算方式同上。
员工存在过错：
- 如果员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等过错行为，公司有权依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。
建议：
- 员工应仔细审查公司辞退的具体原因和依据，确保自己的权益不受侵害。
- 如果员工认为公司的辞退行为违法或不合理，可以与公司进行协商，要求支付相应的经济补偿或赔偿金。
- 如果协商无果，员工可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
示例计算（以经济补偿为例）：
假设员工在公司工作八年的月平均工资为X元，则经济补偿为：
\(经济补偿 = 8年 \times X元/年 = 8X元\)
若公司违法辞退，则赔偿金为：
\(赔偿金 = 2 \times 经济补偿 = 2 \times 8X元 = 16X元\)
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