结论：公司未续签劳动合同后将员工辞退，员工并非只能被动接受，而是有权要求公司支付双倍工资（特定情况下）和经济补偿金，并可通过协商、调解、仲裁和诉讼等途径来维权。以下是对此问题的详细分析：
一、未续签但继续工作的情况
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，劳动合同到期后，若公司未及时与员工续签劳动合同，但员工仍在公司继续工作，则从原劳动合同到期后的次月起，员工有权要求公司支付双倍工资。这意味着，如果公司未续签合同且继续用工，员工可以主张这一权益。
二、劳动合同终止的经济补偿
一般情况：根据《劳动合同法》的规定，除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同而劳动者不同意续订的情况外，劳动合同期满终止时，用人单位需按劳动者在本单位工作的年限向劳动者支付经济补偿。具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
特殊情况：如果员工存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等，公司可以在合同到期时不续签劳动合同，并辞退员工，且无需支付经济补偿。但这种情况较为特殊，需要公司有充分的证据证明员工存在过错。
三、辞退合法性判断
公司辞退员工必须符合法律规定，如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等。若公司无正当理由辞退员工，则构成违法解除劳动合同，需按照《劳动合同法》第八十七条的规定，向劳动者支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。
四、维权途径
收集证据：员工应收集证明劳动关系的证据（如原劳动合同、工资支付记录、工作证等）和辞退证据（如公司出具的辞退通知、电子邮件等），以证明公司辞退的事实和时间。
协商解决：员工可尝试与公司进行协商，说明法律规定，要求公司支付未续签劳动合同期间的双倍工资、经济补偿金或违法解除劳动合同的赔偿金。协商过程中，应保留好相关的聊天记录或通话录音。
第三方调解或劳动仲裁：若协商无果，员工可向企业劳动争议调解委员会、依法设立的基层人民调解组织或在乡镇、街道设立的具有劳动争议调解职能的组织申请调解。若调解不成，员工可向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
提起诉讼：若对仲裁结果不满意，员工可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
五、实际案例与启示
假设员工小李在公司工作了3年，合同到期后公司未续签且继续用工。小李在继续工作2个月后被公司辞退。此时，小李有权要求公司支付未续签劳动合同期间的双倍工资（即2个月的工资）以及经济补偿金（即3个月的工资）。如果公司无正当理由辞退小李，还需支付赔偿金（即经济补偿标准的二倍，即6个月的工资）。
建议：面对公司未续签劳动合同并将员工辞退的情况，员工应了解自己的法律权益，并采取适当的措施来维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。