根据您描述的情况，您有权要求用人单位支付未签书面劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金，同时可要求补缴社保。具体赔偿金额及维权方式如下：
一、未签书面劳动合同的双倍工资差额
根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
计算方式：
- 您工作5个月，用人单位未签合同，可主张4个月工资的双倍工资差额（第2个月至第5个月）。
- 例如：若您月工资为5000元，则可主张5000×4=20000元。
二、违法解除劳动合同的赔偿金
若用人单位无正当理由辞退您（如未提前30天通知且无合法理由），属于违法解除，需支付赔偿金。
计算方式：
- 根据《劳动合同法》第四十七条、第八十七条，赔偿金为经济补偿金的2倍。
- 经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年按1年计算。您工作5个月，经济补偿金为0.5个月工资，赔偿金即为1个月工资。
- 例如：若您月工资为5000元，则可主张5000×1=5000元。
三、社保补缴
用人单位未依法为您缴纳社保，您可要求补缴工作期间的社保（包括养老保险、医疗保险、失业保险等）。
注意：社保补缴需通过劳动监察部门或社保经办机构处理，无法直接以货币形式赔偿。
四、维权步骤建议
- 收集证据：
- 工资条、银行流水（证明劳动关系及工资标准）；
- 考勤记录、工作证、同事证言等（证明用工事实）；
- 辞退通知或录音（证明用人单位违法解除）。
- 协商或投诉：
- 先与用人单位协商，要求支付赔偿及补缴社保；
- 若协商无果，向当地劳动监察大队投诉（针对社保问题）或申请劳动仲裁（针对双倍工资、赔偿金）。
- 申请劳动仲裁：
- 仲裁时效为1年，自离职之日起计算；
- 仲裁请求可包括：双倍工资差额、赔偿金、补缴社保（社保补缴需同步向社保部门投诉）。
五、特殊情形提示
- 若用人单位主张“试用期未签合同合法”：错误。试用期包含在劳动合同期内，仍需签合同。
- 若您主动离职：需证明用人单位存在未签合同、未缴社保等违法行为，否则可能无法主张赔偿金。
- 若月工资高于当地社平工资3倍：双倍工资及赔偿金基数按社平工资3倍计算。
总结：您至少可主张4个月工资的双倍工资差额+1个月工资的赔偿金（合计约5个月工资），并要求补缴社保。具体金额需结合您的工资标准及证据情况确定。如有疑问或需进一步协助，可直接向我咨询！