结论：您在工作五个月后被辞退，且公司未与您签订劳动合同、未购买社保，这种情况公司存在多项违法行为，您有权通过法律途径维护自身权益，要求公司支付未签合同的双倍工资差额、经济补偿金，并补缴社保。以下是详细分析：

未签劳动合同的法律责任

根据《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您工作了五个月，公司未与您签订劳动合同，那么从第二个月起，公司应当向您支付双倍工资差额，即您有权要求公司支付四个月的双倍工资差额（扣除已支付的正常工资部分）。

未购买社保的法律责任

用人单位为劳动者缴纳社会保险是法定义务。根据《社会保险法》等相关规定，公司未为您购买社保，您有权要求公司为您补缴工作期间的社会保险。如果因公司未缴纳社保给您造成损失，比如无法享受医保报销等，您还可以要求公司赔偿相应的损失。

被辞退的法律分析

1. 合法辞退情况：如果公司是因您存在严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形而辞退您，且公司能够提供充分证据证明，那么公司无需支付经济补偿金。但即便如此，公司未签合同和未买社保的违法行为依然存在，您仍可主张相应权益。
2. 违法辞退情况：如果公司无法证明您存在上述合法辞退的情形，或者公司辞退您的理由不成立，那么公司的辞退行为属于违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第四十七条、第八十七条规定，公司应当按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。您工作了五个月，经济补偿为半个月工资，那么赔偿金就是一个月工资。

维权建议

1. 收集证据：您需要收集能够证明您与公司存在劳动关系的证据，比如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据将有助于您在后续的维权过程中证明自己的主张。
2. 与公司协商：您可以先尝试与公司进行协商，要求公司支付未签合同的双倍工资差额、经济补偿金或赔偿金，并补缴社保。在协商过程中，您可以向公司说明相关法律规定，争取达成一个合理的解决方案。
3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁申请中，您需要明确自己的仲裁请求，并提供相应的证据支持。劳动仲裁是解决劳动争议的一种有效途径，其裁决具有法律效力。
4. 提起诉讼：如果您对劳动仲裁裁决不服，还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。通过诉讼途径，您可以进一步维护自己的合法权益。

在整个维权过程中，如果您遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，都可以随时向我咨询。