连续签订三次1年期有效合同后，在满足特定条件下，劳动者有权要求与用人单位签订无固定期限劳动合同。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
- 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
- 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
- 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
二、条件分析
连续订立二次固定期限劳动合同：
- 这里的“连续”指的是在时间上具有不间断性，即第一次合同到期后，紧接着签订了第二次合同，中间没有间断。
- 在您的情况下，已经连续签订了三次1年期合同，这自然满足了“连续订立二次固定期限劳动合同”的条件，因为“二次”是最低次数要求。
劳动者没有法定解除或终止合同的情形：
- 即劳动者不存在《劳动合同法》第三十九条（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等）和第四十条第一项、第二项（如劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的）规定的情形。
双方续订意愿：
- 当第二次（或第三次，在您的情况下）固定期限劳动合同期满时，用人单位与劳动者双方都有续订劳动合同的意愿。如果用人单位决定不续订，则劳动关系终止，不涉及签订无固定期限劳动合同的问题。但根据法律规定，在满足前述条件时，用人单位有义务与劳动者续订无固定期限劳动合同，除非劳动者主动提出订立固定期限劳动合同。
三、实际操作建议
对于劳动者而言：
- 在签订第三次劳动合同时，应明确表达自己希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
- 保留好前两次劳动合同的复印件或相关证据，以证明自己已经连续签订了两次固定期限劳动合同。
- 如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
对于用人单位而言：
- 应遵守相关法律法规，确保在劳动合同的管理上做到合法合规。
- 在续订劳动合同时，应充分考虑劳动者的意愿和法律规定，避免不必要的法律风险。
- 如果劳动者提出签订无固定期限劳动合同，且满足法定条件，用人单位应予以同意并签订相应合同。
总结来说，连续签订三次1年期有效合同后，在满足特定条件下（即劳动者没有法定解除或终止合同的情形，且双方都有续订意愿），劳动者有权要求与用人单位签订无固定期限劳动合同。如果您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。