针对您提出的问题“原来单位没有续签劳动合同，新的单位没有签劳动合同，是否可以申请仲裁”，我的结论是：在两种情况下，您都有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
一、原来单位没有续签劳动合同
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议，属于劳动争议仲裁委员会的受理范围。
- 依据《劳动合同法》第四十六条第五项，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件而劳动者不同意续订，否则劳动合同期满终止时，用人单位应向劳动者支付经济补偿。
可申请仲裁的情形：
- 如果原来单位在劳动合同期满后明确表示不续签，或者降低原合同条件导致您不同意续签，您有权主张经济补偿金。
- 经济补偿金的计算标准通常按照您在原单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
申请仲裁的流程：
- 准备材料：收集仲裁申请书、身份证明、劳动关系证明（如原劳动合同、工资条、工作证等）以及相关证据（如不续签通知等）。
- 提交申请：向有管辖权的劳动争议仲裁委员会提交书面申请及附带的证据材料。
- 立案审查与调解：仲裁委员会收到申请后进行立案审查，并尝试组织双方当事人进行调解。
- 开庭仲裁：若调解不成，仲裁委员会将安排开庭审理，您需按时参加，陈述事实、提供证据并参与辩论。
- 仲裁裁决：仲裁委员会最终作出仲裁裁决，明确双方的权利和义务。
二、新的单位没有签劳动合同
法律依据：
- 同样根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，因订立劳动合同发生的争议属于劳动争议范畴。
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
可申请仲裁的情形：
- 如果新单位在用工之日起超过一个月仍未与您签订书面劳动合同，您有权要求新单位支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资差额。
- 若新单位拒绝支付，您可以通过劳动仲裁来维护自己的权益。
申请仲裁的注意事项：
- 时效问题：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。因此，您应在规定的时效期内及时申请仲裁。
- 证据收集：在申请仲裁前，您应尽可能收集相关证据，如新单位的用工证明、工资单、考勤记录等，以证明您与新单位之间存在劳动关系且未签订书面劳动合同。
- 仲裁程序：与原来单位未续签劳动合同的仲裁程序相同，您需要向有管辖权的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书及相关证据材料。
三、综合建议
- 及时行动：无论是原来单位未续签劳动合同还是新单位未签订劳动合同，您都应及时采取行动，收集证据并申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 咨询专业意见：在申请仲裁前，您可以进一步向我咨询具体的法律策略和证据收集方法，以确保您的仲裁申请更加有力。
- 关注仲裁结果：仲裁裁决作出后，您应关注裁决的执行情况。如果用人单位不履行裁决义务，您可以向人民法院申请强制执行。
总之，在原来单位没有续签劳动合同和新单位没有签劳动合同的情况下，您都有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。