结论：在原单位未解除劳动合同且新单位未签劳动合同的情况下，可以仲裁新单位，但具体能否获得支持需结合实际情况判断。以下从不同角度详细分析：

一、法律关系与仲裁可能性

1. 双重劳动关系合法性
   根据《劳动合同法》第39条，用人单位可因劳动者“同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响”解除合同，但未禁止双重劳动关系本身。若原单位未解除合同且未提出异议，劳动者与新单位的事实劳动关系可能被认定合法。

2. 新单位未签合同的法律责任
   根据《劳动合同法》第82条，新单位自用工之日起超过1个月未签书面合同，需支付双倍工资差额（最多11个月）。若新单位未签合同且存在事实劳动关系，劳动者可主张此权利。

二、仲裁请求的构成要件

1. 事实劳动关系证明
   需提供证据证明与新单位存在事实劳动关系，例如：

   • 工资支付记录（银行流水、转账凭证）；
     
   • 工作证、考勤记录、工作邮件；
     
   • 同事证言或工作成果（如文件、项目记录）。

2. 未签合同的过错归属
   若新单位明确拒绝签合同或拖延签订，劳动者主张双倍工资差额的胜诉率较高；若因劳动者自身原因（如故意拖延）导致未签，可能影响赔偿。

三、潜在风险与应对建议

1. 原单位追责风险
   若原单位发现双重劳动关系并主张赔偿（如因劳动者未履职导致损失），可能要求劳动者承担违约责任。建议：

   • 优先与原单位协商解除合同；
     
   • 保留新单位工作不影响原单位任务的证据（如工作时间不重叠、任务独立）。

2. 新单位反诉风险
   新单位可能以“劳动者隐瞒双重劳动关系”为由主张合同无效或索赔。建议：

   • 入职时如实告知原单位情况（若新单位未主动询问）；
     
   • 避免同时为两家单位完成核心任务，降低“影响工作”的举证风险。

四、操作流程与证据清单

1. 仲裁申请步骤

   • 准备材料：仲裁申请书、身份证复印件、新单位工商信息、事实劳动关系证据；
     
   • 提交申请：向新单位所在地劳动仲裁委提交材料；
     
   • 参与庭审：举证证明未签合同及事实劳动关系存在。

2. 关键证据清单

五、特殊情形提示

• 原单位已停缴社保：若原单位停缴社保，新单位需依法缴纳，否则可能面临行政处罚，但不影响劳动者主张未签合同赔偿。
  
• 新单位为个体工商户：若新单位无用工主体资格（如无营业执照），需向经营者个人主张权利，仲裁对象变为自然人。

行动建议：

1. 立即收集与新单位的事实劳动关系证据；
   
2. 评估原单位是否可能追责，优先协商解除原合同；
   
3. 尽快向劳动仲裁委申请仲裁，避免超过1年仲裁时效（自知道权利受损之日起算）。
   

如有进一步细节（如原单位是否已发解除通知、新单位工作性质等），可向我补充说明，以便更精准分析。