结论：私人诊所聘请的退休后保洁人员未签劳务合同，辞退后是否需要赔偿，需根据具体情况判断，若存在事实劳务关系且辞退行为违法，则可能需要赔偿；若不存在违法辞退情形，则一般无需赔偿。以下从不同角度详细分析：
一、劳务关系的认定
事实劳务关系的存在：
- 即使未签订书面劳务合同，只要双方实际存在劳务提供与接受的关系，即构成事实劳务关系。退休人员虽已享受养老保险待遇，但并不妨碍其与用人单位建立劳务关系。
- 在此情况下，私人诊所作为接受劳务的一方，应承担相应的法律责任。
劳务合同的重要性：
- 劳务合同是明确双方权利义务的重要依据。未签订劳务合同，可能导致双方在劳务内容、报酬、工作时间等方面存在争议。
- 但缺乏书面合同并不影响事实劳务关系的成立，只是可能增加举证难度。
二、辞退行为的合法性
违法辞退的情形：
- 若私人诊所无正当理由辞退保洁人员，或辞退行为违反了双方之间的约定（如未提前通知、未支付经济补偿等），则可能构成违法辞退。
- 在此情况下，保洁人员有权要求私人诊所承担赔偿责任，包括但不限于经济补偿、未支付的劳务报酬等。
合法辞退的情形：
- 若保洁人员存在严重违反诊所规章制度、不能胜任工作等情形，且私人诊所能够提供充分证据证明，则辞退行为可能被视为合法。
- 在此情况下，私人诊所无需承担赔偿责任。但需注意，即使合法辞退，也应按照约定或法律规定支付保洁人员应得的劳务报酬。
三、赔偿的具体内容
经济补偿：
- 若辞退行为被认定为违法，且保洁人员要求经济补偿，私人诊所可能需要根据保洁人员的工作年限、劳务报酬等因素支付相应的经济补偿。
- 经济补偿的具体数额需根据实际情况计算，一般按照保洁人员被辞退前一定期限内的平均劳务报酬为基数，乘以工作年限（或部分年限）得出。
未支付的劳务报酬：
- 无论辞退行为是否合法，私人诊所都应支付保洁人员已提供劳务但尚未支付的报酬。
- 这是基于劳务关系的基本原则，即接受劳务的一方应支付相应的劳务费用。
四、建议与措施
对于私人诊所：
- 建议与保洁人员签订书面劳务合同，明确双方的权利义务，以减少争议和风险。
- 在辞退保洁人员时，应确保辞退行为合法合规，并按照约定或法律规定支付应得的劳务报酬和经济补偿（如适用）。
对于保洁人员：
- 若认为辞退行为违法或未获得应得的报酬，可以收集相关证据（如工作记录、报酬支付记录等）向私人诊所主张权利。
- 若协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉或寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，上述分析仅供参考。若您或您身边的亲友遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。