结论是：私人诊所没有签合同无故开除员工，员工是有可能获得赔偿的，具体赔偿情况需根据实际情况判断。以下从不同角度进行分析：
一、未签订书面劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果私人诊所没有与员工签订书面劳动合同，员工有权要求诊所支付未签订合同期间的双倍工资差额。
二、无故开除员工的法律后果
违法解除劳动合同：
- 如果私人诊所无故开除员工，且没有合法的解除理由（如员工严重违反规章制度、不能胜任工作等），那么诊所的行为可能构成违法解除劳动合同。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，用人单位违法解除劳动合同的，劳动者有权要求继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。
经济补偿的计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 如果员工在私人诊所工作了一段时间（比如一年），那么被无故开除时，除了可能获得未签订合同的双倍工资差额外，还有权获得一个月工资作为经济补偿（如果要求赔偿金，则是二倍，即两个月工资）。
三、实际操作中的建议
收集证据：
- 员工应尽可能收集与在私人诊所工作相关的证据，如工作证、工资条、工作记录、同事证言等，以证明自己与诊所之间存在事实劳动关系。
协商与调解：
- 在采取法律行动之前，员工可以尝试与私人诊所进行协商或寻求第三方调解，以达成和解协议并获得相应的赔偿。
法律途径：
- 如果协商和调解无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求诊所支付未签订合同的双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金等。
- 对仲裁裁决不服的，员工还可以向人民法院提起诉讼。
举例说明：假设员工在私人诊所工作了一年，且未签订书面劳动合同。如果诊所无故开除员工，员工可以要求诊所支付：
- 未签订合同期间的双倍工资差额（假设为11个月工资，因为第一个月不计算双倍）；
- 违法解除劳动合同的赔偿金（2个月工资，因为经济补偿为1个月工资，赔偿金为二倍）。
因此，员工在面临私人诊所未签合同无故开除的情况时，应积极维护自己的合法权益，通过合法途径寻求赔偿。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。