可以要求赔偿。针对您提出的“私人超市没签合同无缘无故开除员工是否可以要赔偿”的问题，我将从以下几个方面进行详细分析：
一、未签订劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果私人超市未与您签订书面劳动合同，您有权要求超市支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。
二、无故开除员工的法律后果
违法解除劳动合同：
- 如果私人超市无正当理由（即非法定事由）开除您，这构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
经济补偿的计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 如果超市违法解除劳动合同，则您有权获得的赔偿金是上述经济补偿标准的二倍。
三、具体操作建议
收集证据：
- 保留与超市存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
- 收集超市无故开除您的证据，如开除通知、聊天记录、录音等。
协商与调解：
- 尝试与超市进行协商，看是否能够达成和解并获得相应的赔偿。
- 如果协商无果，可以向当地的劳动争议调解组织申请调解。
申请劳动仲裁：
- 如果调解不成，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求超市支付未签订劳动合同的双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金等。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不服，您还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
四、注意事项
- 在整个过程中，请确保您的行为合法合规，不要采取过激或违法的手段来维护自己的权益。
- 如果您对法律程序不熟悉，建议寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
总结来说，如果私人超市未与您签订书面劳动合同且无正当理由开除您，您有权要求超市支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。建议您按照上述建议操作，以维护自己的合法权益。如果您在具体操作过程中遇到任何问题或有其他疑问，可以直接向我咨询。