结论：在店里因生产日期问题被罚款的情况下，责任承担需根据具体情况来判断，可能是店长单独承担，也可能是店长和实习生共同承担，具体取决于实习生行为性质及店长管理责任。以下为详细分析：
一、实习生行为性质
职务行为：
- 如果实习生是在执行店长分配的任务或在其职责范围内因疏忽或故意导致生产日期问题，那么这一行为通常被视为职务行为。
- 在这种情况下，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，用人单位（即店铺）应当对其工作人员因执行工作任务造成他人损害的，承担侵权责任。因此，罚款责任应由店铺承担，但店铺在承担责任后，有权根据内部管理规定向有过错的实习生或店长追偿。
个人行为：
- 如果实习生的行为与其职务无关，或者是在未经店长授权的情况下擅自进行的，那么这一行为应被视为个人行为。
- 在这种情况下，如果实习生的行为导致了罚款，且该行为不构成职务行为，那么实习生可能需要个人承担相应的责任。但具体是否承担以及承担的比例，还需根据实习生的年龄、认知能力、行为后果以及店铺的管理责任等因素综合判断。
二、店长的管理责任
监督责任：
- 店长作为店铺的管理者，对店铺的日常运营和员工行为负有监督责任。
- 如果店长未能有效监督实习生，导致生产日期问题发生，店长可能需要承担一定的管理责任。这种责任可能是直接的，也可能是间接的，具体取决于店长在事件中的过错程度。
培训责任：
- 店长还有责任对实习生进行必要的培训和指导，确保其了解并遵守店铺的规章制度和操作流程。
- 如果店长未能履行这一责任，导致实习生因无知或疏忽而犯错，店长也可能需要承担一定的责任。
三、责任承担的具体情况
店长单独承担责任：
- 如果生产日期问题完全是由于店长的管理疏忽或故意行为导致的，且实习生没有过错或过错极小，那么罚款责任应主要由店长承担。
店长和实习生共同承担责任：
- 如果生产日期问题是由于店长和实习生的共同过错导致的，那么他们可能需要共同承担责任。具体承担的比例应根据各自的过错程度来确定。
四、建议与措施
店铺应加强内部管理：
- 建立健全的规章制度和操作流程，确保员工（包括实习生）了解并遵守。
- 加强对员工的培训和指导，提高其业务水平和法律意识。
- 定期对店铺进行自查自纠，及时发现并纠正潜在的问题。
明确责任划分：
- 在店铺内部明确各级员工的职责和权限，避免责任不清或推诿扯皮。
- 在发生问题时，及时调查并确定责任主体，以便采取相应的措施。
寻求法律帮助：
- 如果店铺在处理此类问题时遇到困难或不确定如何承担责任，建议及时咨询专业律师以获取法律帮助。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。