核心结论：针对“头一回开完工资第二天厨师跑了”的情况，可从劳动合同、工资支付、损失追偿三个角度分析处理方式，具体如下：
1. 劳动合同角度：检查是否构成违约
- 若厨师未提前通知离职：根据《劳动合同法》第37条，劳动者需提前30日（试用期3日）书面通知用人单位方可离职。若厨师未履行通知义务直接离职，可能构成违约，用人单位可要求其赔偿因擅自离职导致的直接损失（如临时招聘替代人员的费用、营业损失等），但需举证损失与厨师离职的因果关系。
- 若劳动合同中有服务期或竞业限制条款：若厨师在服务期内离职（如用人单位为其支付了专项培训费用），或违反竞业限制约定，用人单位可依据合同约定要求其支付违约金或赔偿损失。
2. 工资支付角度：确认工资是否结清
- 若工资已全额支付：用人单位无需再支付工资，但需保留工资支付凭证（如转账记录、签字确认的工资表）作为证据，避免厨师未来主张未支付工资。
- 若工资未结清或存在争议：厨师离职后仍可主张未支付的工资，用人单位需核实工资计算是否准确。若存在扣减工资（如罚款、绩效未达标等），需确保扣减符合法律规定（如《工资支付暂行规定》第16条：因劳动者原因造成经济损失的，用人单位可按劳动合同约定要求赔偿，但每月扣除部分不得超过当月工资的20%）。
3. 损失追偿角度：收集证据并主张权利
- 直接损失：如因厨师离职导致餐厅无法正常营业、临时雇佣替代人员的费用等，用人单位可要求厨师赔偿。需提供证据（如招聘广告、临时用工合同、营业额减少证明等）。
- 间接损失：如客户流失、商誉损害等，一般难以举证，法院可能不予支持。
- 程序建议：先与厨师协商赔偿；协商不成，可向劳动仲裁委员会申请仲裁（需在离职后1年内提出），或直接向法院起诉（需有明确证据）。
行动建议
- 立即联系厨师：通过书面（短信、邮件）或录音方式要求其返岗或说明离职原因，固定证据。
- 核查合同与制度：确认劳动合同中是否有关于离职、赔偿的约定，以及单位规章制度是否合法有效。
- 评估损失并取证：计算直接损失金额，收集相关凭证（如发票、合同、营业记录等）。
- 协商或法律途径：根据损失大小和厨师态度，选择协商解决或启动法律程序。
提示：若厨师离职导致餐厅经营困难，可考虑临时调整菜单、缩短营业时间等措施减少损失，同时尽快招聘新厨师。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。