结论前置：工作满10年且在合同未到期时，若满足法定条件，员工可以申请签订无固定期限劳动合同。
一、法定条件分析
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这里的“连续工作满十年”是关键条件，强调的是不间断的工作状态。
连续工作满十年的认定：
- 劳动者需在同一用人单位连续工作满十年，期间无离职或劳动关系中断的情况。
- 如果因非劳动者本人原因（如单位安排调岗、外派学习等）导致工作地点或岗位变动，但劳动关系仍在该单位的，工作年限可以连续计算。
提出签订无固定期限劳动合同的主体：
- 在劳动合同期满时，劳动者有权利向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求。
- 或者在用人单位提出续订劳动合同时，劳动者表示同意续订且希望订立无固定期限劳动合同。
例外情况：
- 如果劳动者在满足连续工作满十年的条件下，自己主动提出要签订固定期限劳动合同，那么用人单位可以与劳动者签订固定期限劳动合同。
二、申请签订无固定期限劳动合同的流程
劳动者提出申请：
- 在劳动合同期满前，劳动者应向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的申请。
- 申请可以书面形式提出，也可以口头形式提出，但建议保留相关证据，如邮件、短信、录音等。
用人单位响应：
- 用人单位在收到劳动者的申请后，应与劳动者协商并达成一致意见。
- 如果用人单位同意签订无固定期限劳动合同，双方应签订书面合同并明确合同条款。
用人单位拒绝的法律后果：
- 如果用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
- 劳动者可以通过向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等方式来维护自己的合法权益。
三、实际案例与法律建议
实际案例：
- 假设小李在某公司连续工作了10年，他的劳动合同即将到期。此时，小李可以主动向公司人事部门提出签订无固定期限劳动合同的申请。如果公司同意，双方应签订书面合同；如果公司拒绝，小李可以通过法律途径维护自己的权益。
法律建议：
- 劳动者在满足连续工作满十年的条件下，应积极向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的申请，并保留好相关证据。
- 如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同，劳动者应及时向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，劳动者应了解自己的权益和义务，避免因不了解法律而遭受损失。
综上所述，工作满10年且在合同未到期时，若满足法定条件，员工可以申请签订无固定期限劳动合同。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。