结论概述：针对您描述的情况，学校可能需承担因未签劳动合同的违法责任以及违法解除劳动合同的赔偿责任，但具体还需根据实际情况判断老师私自带学生训练是否构成严重违反学校规章制度。以下为详细分析：
一、未签劳动合同的责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
责任分析：
- 老师在学校工作了三年却未签订劳动合同，学校明显违反了上述法律规定。因此，学校应当向老师支付这三年期间（除第一个月外）的双倍工资差额，即额外支付两年的工资作为赔偿。
二、违法解除劳动合同的责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”
- 第八十七条规定：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
- 第四十七条规定：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”
责任分析：
- 如果学校辞退老师的行为被认定为违法解除劳动合同（即没有合法依据或未按照法定程序进行），那么学校需要按照上述法律规定向老师支付赔偿金。由于老师工作了三年，所以赔偿金应为六个月工资（即三年的经济补偿标准两倍，每年一个月工资，共三倍，但考虑到是违法解除，所以直接按两倍计算为六个月工资，此处为简化理解，实际计算可能依据具体月工资和地区标准有所调整，但核心意思是赔偿金为经济补偿的两倍）。不过更准确的计算方式是，经济补偿为3个月工资（因工作三年），违法解除则赔偿金为经济补偿的两倍，即6个月工资。
三、老师私自带学生训练的行为分析
行为性质：
- 老师私自带外面的学生到教室训练，这一行为可能违反了学校的规章制度或职业道德规范。如果学校有明确规定禁止此类行为，并且老师明知故犯，那么这一行为可能构成严重违反学校规章制度。
对辞退合法性的影响：
- 如果学校能够证明老师的这一行为严重违反了学校的规章制度，并且这一规章制度是合法有效的（即经过民主程序制定、已向劳动者公示等），那么学校辞退老师的行为可能被认定为合法解除劳动合同，此时学校无需支付违法解除劳动合同的赔偿金。但学校仍需承担未签劳动合同的责任。
- 如果学校无法证明老师的这一行为构成严重违反规章制度，或者规章制度本身存在合法性问题，那么学校辞退老师的行为可能被认定为违法解除劳动合同，需要承担相应的赔偿责任。
建议：鉴于上述分析，建议您先与学校进行协商，要求学校承担未签劳动合同的责任以及违法解除劳动合同的赔偿责任（如果适用）。如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。在处理过程中，请务必保留好相关证据（如工作证、工资条、考勤记录、学校规章制度等），以便在仲裁或诉讼过程中证明自己的主张。如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。