结论前置：试用期员工辞职第二天就走，公司是否可以申请赔偿，需根据具体情况判断，一般而言，若员工未违反法律规定或劳动合同约定，公司通常不能申请赔偿；但若员工行为给公司造成损失，公司可依法要求赔偿。以下从不同角度进行分析：

1. 员工辞职的法定权利：

   • 根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。这意味着，试用期员工有权在提前三日通知后离职，无需承担违约责任（除非劳动合同中有特别约定且该约定不违反法律强制性规定）。
   • 若员工在辞职时未提前三日通知，但并未给公司造成实际损失，公司通常不能因此要求员工赔偿。因为法律并未规定此种情况下员工需承担赔偿责任。

2. 员工行为给公司造成损失的情况：

   • 如果员工在辞职时未提前通知，且其突然离职给公司造成了实际损失（如关键岗位空缺导致业务中断、紧急招聘成本增加等），公司可以依据《劳动合同法》第九十条，要求员工承担赔偿责任。
   • 赔偿范围通常限于公司因员工突然离职而遭受的直接经济损失，且公司需承担举证责任，证明损失的存在及与员工突然离职之间的因果关系。

3. 劳动合同中的特别约定：

   • 如果劳动合同中明确约定了试用期员工辞职需提前更长时间通知，或规定了未提前通知的赔偿责任，且该约定不违反法律强制性规定，那么公司可以依据合同约定要求员工承担相应责任。
   • 但需注意，此类约定需合理且明确，否则可能因显失公平或违反法律强制性规定而被认定无效。

4. 实际操作建议：

   • 对于公司而言，若员工突然离职且未提前通知，首先应评估是否因此遭受了实际损失，并收集相关证据。
   • 若确实存在损失，且符合法律或合同约定的赔偿条件，公司可以与员工协商赔偿事宜；协商不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
   • 同时，公司也应反思自身管理是否存在漏洞，如是否未及时为员工办理离职手续、是否未对关键岗位进行备份等，以避免类似情况再次发生。

总结：试用期员工辞职第二天就走，公司是否可以申请赔偿，需根据员工是否违反法律规定或劳动合同约定、是否给公司造成实际损失等因素综合判断。若员工行为合法且未给公司造成损失，公司通常不能申请赔偿；若员工行为违法或给公司造成损失，公司可依法要求赔偿。如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。