结论前置：针对员工口头辞退且不办离职手续、不来上班，反而去另一个公司上班的情况，公司可以采取核实辞职意向真实性、审查辞职程序合法性、进行旷工处理与后续措施等步骤来维护自身权益。
对于公司而言，可以采取以下措施：
核实辞职意向真实性：
- 面对员工的口头辞退，公司首先应通过正式渠道（如电话、邮件、微信等）与员工进一步沟通，确认其辞退的真实意愿及具体原因。
- 建议要求员工提交书面辞退声明或离职申请，明确辞退的申请日期、预计离职日期等关键信息，以确保有明确的证据避免未来纠纷。若员工拒绝提交书面材料，公司应做好相关沟通记录，并尽可能通过录音、录像等方式留存证据。
审查辞职（辞退）程序的合法性：
- 根据《劳动合同法》的规定，员工解除劳动合同需遵循法定程序，如正式员工需提前三十日以书面形式通知用人单位。虽然此处是员工口头辞退，但公司仍需审查其是否符合法定或公司规定的辞职程序。
- 若员工未按法定程序辞退，公司有权要求其按照法律规定或公司规定办理离职手续。同时，如果公司同意员工立即离职，这应视为双方协商一致变更了解除劳动合同的时间，同样具有法律效力，但建议双方签署书面协议确认。
- 在员工未按法定程序辞退的情况下，公司应发送书面通知，告知其辞退行为的不合法性（若实际为辞退而非辞职），并要求其在合理期限内返回工作岗位或按法定程序办理离职。此通知应通过可靠的送达方式（如邮政快递）发送，并保留好送达凭证。
旷工处理与后续措施：
- 若员工在未经允许的情况下擅自离职，且经通知后仍不返回工作岗位，公司可依据公司规章制度对其进行旷工处理。
- 旷工达到一定天数时（具体天数依据公司规章制度而定），公司有权依据规章制度解除与员工的劳动合同。但在此之前，公司必须履行法定程序，如调查核实、听取员工陈述等，确保解除行为的合法性。
- 解除劳动合同后，公司需依法为员工办理离职手续，包括出具离职证明、办理档案和社保转移等。同时，公司有权要求员工赔偿因擅自离职给公司造成的损失，如招聘费用、培训费用、业务损失等。
法律背景与建议：
- 法律背景：根据《劳动合同法》的相关规定，员工解除劳动合同需遵循法定程序，否则可能构成违法解除，需承担赔偿责任。同时，公司也有权依据规章制度对员工进行管理，包括旷工处理等。
- 建议：为避免类似纠纷的发生，公司应完善内部管理制度，明确辞职、辞退等流程，并要求员工严格遵守。同时，公司应加强与员工的沟通，及时了解员工的想法和需求，尽力化解矛盾，维护和谐的劳动关系。
可能的法律后果：
- 若员工擅自离职且未按法定程序办理离职手续，公司有权依据规章制度对其进行旷工处理，并可能解除与其的劳动合同。
- 若因员工擅自离职给公司造成损失，公司有权要求员工进行赔偿。赔偿范围包括但不限于招聘费用、培训费用、业务损失等直接和间接损失。
总结：面对员工口头辞退且不办离职手续、不来上班的情况，公司应首先核实辞职意向真实性，审查辞职程序合法性，然后进行旷工处理与后续措施。同时，公司应完善内部管理制度，加强与员工的沟通，以维护和谐的劳动关系。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。