针对您提出的问题，即在工厂上班两天后晕倒，在医院医治两个月后死亡，且未签订劳动合同的情况下，应该如何处理，以下是我为您提供的详细解答：
一、劳动关系确认
首先，尽管您与工厂没有签订劳动合同，但只要能证明您与工厂存在事实劳动关系，就可以进一步申请工伤认定。证明事实劳动关系的材料可以包括工资支付凭证或记录、工作证、招工登记表、考勤记录以及其他劳动者的证言等。
二、工伤认定申请
申请条件：根据《工伤保险条例》的相关规定，如果在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者在工作岗位上突发疾病死亡（或在48小时之内经抢救无效死亡），应当认定为工伤或视同工伤。您的情况中，若晕倒与工作有关，且最终导致死亡，可能符合工伤认定的条件。
申请材料：提出工伤认定申请时，需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、以及医疗诊断证明。
申请时限：工厂应自事故伤害发生之日起30日内提出工伤认定申请。若工厂未提出，您或您的近亲属、工会组织可以在1年内直接提出工伤认定申请。
三、工伤待遇与赔偿
工伤待遇：如果认定了属于工伤，您就可以享受相应的工伤待遇，包括医疗费用报销、伤残津贴、一次性伤残补助金等。
单位赔付：如果该由单位赔付的部分单位拒不支付，您可以向劳动仲裁委员会申请仲裁，要求单位支付相应的工伤待遇及未签合同的二倍工资及相关赔偿金。
雇佣关系索赔：如果工厂不承认与您存在劳动关系，且您又没有足够的证据证明劳动关系的存在，那么可以按雇佣关系中人身损害赔偿的要求向工厂索赔。索赔项目包括医疗费、误工费、住院伙食补助费、营养费、交通费、伤残赔偿金、被抚养人的生活费、精神损失费等。
四、争议解决
如果对工伤认定结论或不予受理的决定不服，您可以依法申请行政复议或向人民法院提起行政诉讼。
五、建议与行动
收集证据：尽快收集能证明您与工厂存在事实劳动关系的证据，如工资单、工作证、考勤记录等。
咨询专业人士：建议咨询专业的劳动法律师或当地劳动保障部门，以获取更具体的法律指导和帮助。
及时申请工伤认定：在收集到足够证据后，及时向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
希望以上解答能对您有所帮助。在处理此类问题时，请务必保持冷静，依法维护自己的合法权益。