核心结论：在此情况下，赔偿问题需分情况讨论，主要涉及是否构成劳动关系以及是否属于工伤认定范畴，以下是具体分析：
- 若构成劳动关系
- 工伤认定与赔偿：根据《工伤保险条例》第十五条规定，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。虽然只工作了一天且未签订劳动合同，但根据《劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。所以，只要能证明存在事实劳动关系（如工作证、考勤记录、工资支付凭证、同事证言等），就可以申请工伤认定。一旦被认定为工伤，其近亲属可从工伤保险基金领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。丧葬补助金为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资；供养亲属抚恤金按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属；一次性工亡补助金标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
- 未缴纳工伤保险的责任：如果用人单位未依法缴纳工伤保险费，根据《工伤保险条例》第六十二条，由该用人单位按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。也就是说，用人单位需承担全部的工伤赔偿费用。
- 若不构成劳动关系（较为少见的情况）
- 一般侵权责任：如果经调查核实，双方不构成劳动关系，比如属于劳务关系等，那么一般不适用工伤赔偿的相关规定。此时，若用人单位存在过错（如明知劳动者身体状况不适合工作却安排其工作等），导致劳动者因急病死亡，用人单位可能需要承担一定的一般侵权责任。根据《民法典》第一千一百六十五条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。赔偿范围可能包括医疗费（如果有）、丧葬费、死亡赔偿金等，具体赔偿数额需根据实际情况和相关证据来确定。
- 无过错情况：如果用人单位不存在过错，那么从法律层面可能无需承担赔偿责任，但从人道主义角度，用人单位可能会给予一定的经济补偿。
建议：家属应尽快收集能证明与用人单位存在事实劳动关系的证据，向当地社会保险行政部门申请工伤认定。如果对认定结果有异议或者在与用人单位协商赔偿过程中遇到问题，可以随时向我咨询，我会根据具体情况为你提供详细的法律指导和帮助。