劳动合同到期后公司不续签，劳动者通常不能继续上班，但在特定情况下可能形成事实劳动关系。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动合同到期后的劳动关系状态
合同到期即终止：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期时，双方的劳动关系原则上会自然终止。此时，如果劳动者未经公司同意继续上班，公司可能会认为这是劳动者的擅自行为，不认可双方存在新的劳动关系，从而不支付相应报酬，甚至可能追究责任。
事实劳动关系的形成：尽管合同到期，但如果劳动者继续上班且公司未提出异议，尤其是公司通过实际行为（如继续安排工作、正常发放工资等）表明同意延续劳动关系，那么从原劳动合同期满次日起，双方就可能形成了事实劳动关系。这种情况下，劳动者仍享有劳动者的相关权益，但为避免后续纠纷，建议尽快与公司协商签订书面的劳动合同。
二、经济补偿问题
经济补偿的适用条件：根据《劳动合同法》的规定，除公司维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意续订的情况外，劳动合同期满终止时，公司应向劳动者支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
双倍工资的支付：如果公司在劳动合同期满后超过一个月仍未与劳动者签订书面劳动合同，而劳动者继续在公司工作，那么从第二个月起，劳动者有权主张双倍工资。
三、处理建议与维权途径
与公司沟通：在劳动合同到期前，劳动者应主动与公司沟通续签事宜，了解公司的态度和想法。如果公司决定不续签，应要求公司按照法律规定支付经济补偿，并尽快办理离职手续。
保留证据：在继续上班或处理劳动合同相关事宜时，劳动者应注意保留好能证明自己与公司存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作邮件等。这些证据在可能的劳动纠纷中至关重要。
合法维权：如果公司拒绝续签合同、支付经济补偿或存在其他违法行为，劳动者可以通过与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等合法途径来维护自己的权益。在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，依法行事。
举例说明：假设小李的劳动合同即将到期，公司通知他不续签。此时，小李应与公司沟通经济补偿事宜，并尽快办理离职手续。如果小李未经公司同意继续上班，而公司也未提出异议且继续发放工资，那么双方就可能形成了事实劳动关系。但为了避免后续纠纷，小李应尽快与公司协商签订书面的劳动合同。
综上所述，劳动合同到期后的处理问题涉及多个法律知识点。劳动者应充分了解相关法律法规和政策规定，并根据自身实际情况采取合适的行动来维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。