针对您的情况，首先明确结论：您有权要求公司支付实际工作期间的工资，但要求支付一个月工资作为补偿可能缺乏直接法律依据，除非能证明公司存在违法解除劳动合同的情形。接下来，我将从不同角度为您详细分析：
一、工资支付问题
实际工作期间工资：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者提供了正常劳动，用人单位应当按照劳动合同约定的工资标准支付工资。因此，您干了半个月的活，公司应当支付您这半个月的工资。
工资计算与发放：
- 工资的计算通常基于您与公司的劳动合同约定，包括基本工资、加班费、奖金等。如果公司已经按照实际工作天数计算并支付了工资，那么这部分工资您是无权再要求额外支付的。
- 如果公司未支付或支付不足，您有权要求公司补足差额。
二、辞退与补偿问题
合法辞退与补偿：
- 如果公司因您不能胜任工作、严重违反公司规章制度等原因合法辞退您，且提前通知了您或支付了代通知金，同时按照工作年限支付了经济补偿金（每满一年支付一个月工资，不满半年支付半个月工资），那么公司无需再支付额外费用。
- 在您的情况下，由于只工作了半个月，如果公司合法辞退，通常只需支付半个月的工资作为经济补偿（如果符合支付经济补偿的条件）。
违法辞退与赔偿：
- 如果公司没有合法理由辞退您，或者未按照法定程序进行辞退（如未提前通知、未支付经济补偿等），则可能构成违法解除劳动合同。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。但即便如此，赔偿金也是基于您在公司的工作年限来计算，由于您只工作了半个月，赔偿金数额会相对有限。
您要求的合理性：
- 您要求公司支付一个月工资作为补偿，这通常没有直接的法律依据，除非能证明公司存在违法解除劳动合同的情形，并且按照法律规定应支付双倍经济补偿（即赔偿金），但即便如此，赔偿金数额也取决于您的工作年限和工资水平。
三、建议与行动
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司协商，看是否能达成一个双方都能接受的解决方案。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付实际工作期间的工资以及可能的违法解除劳动合同的赔偿金。
准备证据：
- 在申请劳动仲裁前，请确保您收集了足够的证据来支持您的主张，如劳动合同、工资条、辞退通知等。
最后，如果您在处理此事过程中遇到任何困难或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细的法律建议和指导。