面对您上班半个月被辞退且不给工资的情况，我理解您的困扰和不满。根据相关法律法规，您完全有权依法维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的解决步骤和建议：

一、明确您的法律权益

首先，您需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，自您开始工作的那一天起，您与用人单位之间就建立了劳动关系。即使没有签订书面的劳动合同，您也有权获得相应的劳动报酬。用人单位无故辞退您且拒绝支付工资，是违法的行为，您有权依法追究其责任。

二、收集相关证据

在采取任何行动之前，收集证据是至关重要的。您需要收集能够证明您与用人单位之间存在劳动关系以及您实际工作了半个月的证据。这些证据可以包括：

• 工作证、考勤记录（如打卡记录、纸质考勤表）等能够证明您在用人单位工作的文件。
• 工作成果，如报告、设计方案等，以及与工作相关的聊天记录、邮件等，以证实您实际参与了工作。
• 与用人单位关于工资和辞退事宜的沟通记录，如短信、邮件等。

三、与用人单位协商

在收集好证据后，您可以尝试与用人单位进行友好协商，明确要求支付您应得的工资。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达您的诉求，并保留好沟通记录以备后续使用。

四、向劳动行政部门投诉

如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门（通常隶属于人力资源和社会保障局）提出投诉。在投诉时，您需要提交详细的投诉材料，包括您的个人基本情况、用人单位的信息、您的工作时间、工作内容以及未支付工资的具体情况。劳动监察部门将会进行调查核实，并责令用人单位支付工资。

五、申请劳动仲裁

如果劳动行政部门的处理未能解决问题，您可以在规定时间内向当地的劳动争议仲裁委员会提起劳动仲裁。在申请仲裁时，您需要准备充分的仲裁申请材料，包括证据和详细的仲裁申请书。仲裁庭将会进行审理，并根据双方提供的证据和陈述作出裁决。

六、寻求法律援助或咨询专业律师

在处理过程中，如果您遇到法律难题或需要更专业的帮助，您可以寻求法律援助或咨询专业律师。律师将根据您的具体情况提供针对性的建议和指导，帮助您更好地维护自己的权益。

七、提起诉讼

如果您对仲裁裁决不服（除终局裁决外），您可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在提起诉讼时，您需要准备好起诉状和相关证据，并向有管辖权的人民法院立案。法院将会安排开庭审理，并最终根据审理情况作出判决。

八、关于经济补偿

虽然您只工作了半个月，可能无法主张因未签订劳动合同而产生的双倍工资权益，但如果用人单位的辞退行为不符合法律规定，您仍有权要求相应的经济补偿。

在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。同时，了解并熟悉相关法律法规也是成功维权的重要基础。希望这些建议能够帮助您解决问题，维护自己的合法权益。