针对您提出的问题“工厂员工被开除不用签离职书”，这实际上涉及到了劳动者的合法权益和用人单位的法定责任。以下是对这一问题的详细解答：
一、用人单位的责任与义务
出具书面解除通知书：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，应当出具书面的解除通知书。这是用人单位的法定义务，也是劳动者维权的重要依据。
支付经济补偿金：
- 如果用人单位因非劳动者过错而解除劳动合同，如裁员、经营困难等，通常需要按照法律规定支付经济补偿金。
二、劳动者的权益与维权途径
要求书面解除通知书：
- 劳动者有权要求用人单位出具书面的解除通知书。如果用人单位拒绝出具，劳动者可以通过法律途径维权，如向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
申请劳动仲裁：
- 如果用人单位未出具书面解除通知书，且拒绝支付经济补偿金或拖欠工资等，劳动者可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁委员会将依法进行裁决，维护劳动者的合法权益。
提起诉讼：
- 如果劳动仲裁结果不满意，劳动者还可以依法向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的权益。
三、具体案例分析与建议
- 以您提供的参考信息中的案例为例，如果劳动者被口头无故辞退，且用人单位未出具书面解除通知书，劳动者可以：
- 保留相关证据，如电话录音、工作记录等；
- 向劳动监察部门投诉，要求用人单位出具书面解除通知书并支付经济补偿金；
- 如果投诉无果，可以申请劳动仲裁，要求用人单位支付未签劳动合同的双倍工资、违法辞退的赔偿金以及欠发的工资等。
四、总结
综上所述，工厂员工被开除时，用人单位应当出具书面的解除通知书，并依法支付经济补偿金等。如果用人单位未履行这些法定义务，劳动者有权通过法律途径维权。建议劳动者在维权过程中保持冷静，收集好相关证据，并依法依规进行投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼。