结论前置：劳动合同到期后，若员工继续工作且单位继续发放工资但未签订劳动合同，这种情况下，员工继续工作是合法的，且在一定条件下可以要求单位支付双倍工资或视为签订了无固定期限劳动合同。但为避免后续纠纷，建议双方尽快续签劳动合同。
法律分析：
继续工作的合法性：
- 根据相关法律规定，劳动合同期满后，劳动者仍在原用人单位工作，原用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。因此，员工在合同到期后继续工作，且单位未提出异议并继续发放工资，这种行为是合法的。
双倍工资补偿：
- 若劳动合同到期后超过一个月，用人单位仍未与劳动者续签书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，避免用人单位因未签订书面合同而逃避责任。
无固定期限劳动合同：
- 如果劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作，并且满足签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年等），当劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同时，应当订立无固定期限劳动合同。这进一步保障了劳动者的长期工作权益。
建议与操作指南：
- 及时续签劳动合同：为避免后续产生不必要的纠纷，双方应在劳动合同到期前就续签事宜进行积极沟通，并在到期后尽快签订新的书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 了解自身权益：劳动者应了解自己的法律权益，包括在合同到期后继续工作的合法性、双倍工资补偿的条件以及签订无固定期限劳动合同的规定。在必要时，可以采取合适的措施来维护自己的合法权益。
- 寻求法律援助：如果遇到单位不签劳动合同或拒绝支付工资等情况，劳动者可以依法向我寻求法律咨询或申请劳动仲裁，以保护自己的合法权益不受侵害。
综上所述，劳动合同到期后员工继续工作且单位继续发放工资但未签订劳动合同的情况下，员工应了解自己的法律权益，并在必要时采取合适的措施来维护这些权益。同时，建议双方尽快续签劳动合同，以明确双方的权利和义务，避免后续纠纷的发生。