结论：劳动合同到期未续签但仍在工作的情况下，赔偿后是否能结束双方劳动关系，需根据具体情况判断。若用人单位提出终止劳动关系并支付相应赔偿，则劳动关系可以结束；若劳动者提出终止且无用人单位过错，则用人单位通常无需额外赔偿，劳动关系也可结束，但需注意未签书面合同的双倍工资等问题。
详细分析：
一、劳动关系继续的认定
劳动合同期满后，若双方均未提出续签或终止合同，且劳动者继续在原岗位工作，法律上视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。此时，尽管没有书面续签合同，但实际劳动关系依然延续。
二、用人单位提出终止劳动关系的情况
经济补偿支付：
- 若用人单位在劳动合同到期后未续签，且后续提出终止劳动关系，根据《劳动合同法》的规定，用人单位需按照劳动者在本单位的工作年限支付经济补偿。具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资为劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
双倍工资支付：
- 若用人单位自劳动合同期满的次日起超过一个月未与劳动者续订书面劳动合同，则需向劳动者每月支付两倍的工资作为惩罚性赔偿，直至满一年的前一日。
劳动关系终止：
- 在支付经济补偿和双倍工资（如适用）后，用人单位可以正式终止与劳动者的劳动关系。
三、劳动者提出终止劳动关系的情况
经济补偿请求权：
- 若劳动者主动提出终止劳动关系，且没有证据表明是用人单位的原因导致其离职（如拖欠工资、未提供劳动条件等），则劳动者通常不享有获得经济补偿金的权利。
双倍工资请求权：
- 尽管劳动者主动提出终止劳动关系，但若用人单位在劳动合同期满后超过一个月未与劳动者续订书面劳动合同，劳动者仍有权要求用人单位支付从第二个月起至补订劳动合同前一日的双倍工资差额（已支付的一倍工资除外）。不过，这一权利通常受到一年仲裁时效的限制。
劳动关系终止：
- 在劳动者明确表示不再继续工作，并办理了相关离职手续后，劳动关系即告终止。此时，用人单位无需支付经济补偿金（除非劳动合同中有特别约定或当地法律法规另有规定），但需支付劳动者实际工作时间的劳动报酬。
四、特殊情况下的处理
视为无固定期限劳动合同：
- 若用人单位自劳动合同期满之日起满一年都未与劳动者订立书面劳动合同，则视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。此时，若劳动者提出终止劳动关系，除非用人单位存在过错（如未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等），否则劳动者通常不享有获得经济补偿金的权利。但用人单位仍需支付劳动者实际工作时间的劳动报酬，并可能面临其他法律责任。
用人单位降低劳动条件：
- 若用人单位在续签劳动合同时降低原来劳动条件，导致劳动者不续签的，用人单位需支付经济补偿金，补偿标准同上。此后，若劳动者提出终止劳动关系，则视为双方协商一致解除劳动合同，用人单位无需再支付额外赔偿。
建议与总结：
在劳动合同到期未续签但仍在工作的情况下，赔偿后是否能结束双方劳动关系取决于多种因素，包括谁提出了终止劳动关系、是否签订了书面劳动合同以及未续签的具体原因等。因此，建议双方在处理此类问题时保持沟通、协商解决，并尽可能签订书面协议以明确双方的权利和义务。若无法协商一致，可寻求法律途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。