结论：连续签订四次固定期限劳动合同后未签订无固定期限劳动合同的赔偿问题，需分情况讨论，具体如下：
若符合签订无固定期限劳动合同条件但未签订，且劳动者继续在用人单位工作：
- 根据《劳动合同法》第十四条第三款规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。在连续签订四次固定期限劳动合同后，若劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同，且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（即劳动者无过错且用人单位未提出合同终止的合法理由），劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。
- 若用人单位未依法签订，劳动者可主张自应当订立无固定期限劳动合同之日起的双倍工资差额，但需注意，此双倍工资差额的支付期限通常受一年仲裁时效的限制，且部分地区可能规定最长不超过11个月（具体以当地司法实践为准）。同时，劳动者也有权要求用人单位补签无固定期限劳动合同。
若用人单位违法终止劳动合同：
- 若在连续签订四次固定期限劳动合同后，用人单位以合同到期为由终止劳动合同，且劳动者要求继续签订无固定期限劳动合同的，用人单位的行为构成违法终止。
- 根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，劳动者有权要求用人单位支付违法终止劳动合同的赔偿金，赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付，六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
若劳动者未提出签订无固定期限劳动合同或同意终止合同：
- 若劳动者在连续签订四次固定期限劳动合同后，未主动提出签订无固定期限劳动合同，或者同意了用人单位终止合同的提议，则可能视为双方协商一致终止合同，此时劳动者通常无法主张双倍工资差额或违法终止赔偿金，但可依据实际工作年限主张经济补偿。
建议：
- 劳动者应保留好与用人单位签订的所有劳动合同及相关证据，以便在发生争议时证明自己的权益。
- 若遇到用人单位未依法签订无固定期限劳动合同或违法终止劳动合同的情况，劳动者可先与用人单位协商解决；协商不成的，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可向人民法院提起诉讼。
- 用人单位应严格遵守《劳动合同法》的相关规定，避免违法用工行为带来的法律风险和经济损失。