结论前置：当您与用人单位连续签订两次三年合同，共工作六年后，若单位选择不再续签，您有权根据法律规定获得相应的经济补偿，且在特定条件下，单位应与您签订无固定期限劳动合同。
法律规定与权益解析
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《劳动合同法》第十四条的规定，若您与用人单位已连续订立二次固定期限劳动合同，并且您没有严重违反公司规章制度、不能胜任工作等法定解除合同的情形（即符合《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项之外的情况），在续订劳动合同时，除非您主动提出订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与您订立无固定期限劳动合同。
经济补偿的计算：
- 若用人单位因合同到期而选择不续签，且未涉及应签无固定期限合同而不签的违法情况，则应按您在本单位工作的年限支付经济补偿金。具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资高于当地职工月平均工资三倍的，按三倍数额支付，但最高不超过十二年）。
- 示例：若您月工资为8000元，工作六年，则经济补偿金为6个月 × 8000元 = 48000元。
用人单位不续签的法律后果：
- 若用人单位违反法律规定，不与您续订无固定期限劳动合同，则需自应订立无固定期限劳动合同之日起，向您每月支付二倍的工资作为赔偿。
- 若因用人单位不续签合同导致您失业，并符合领取失业保险金条件但因单位原因无法领取的，用人单位需赔偿您相应的失业保险待遇损失。
劳动者的应对措施
协商解决：
- 您首先应与用人单位进行友好协商，明确指出相关法律规定，要求用人单位按照法律续签无固定期限劳动合同或支付相应的经济补偿。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，您可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，准备充分的证据（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等）以证明劳动关系及工作年限。在仲裁请求中，应清晰明确地提出自己的诉求，如要求支付经济补偿金、签订无固定期限劳动合同等。
提起诉讼：
- 如对仲裁结果不满意，您可在规定时间内向人民法院提起诉讼，通过司法途径进一步维护自己的合法权益。
特殊情况下的处理
若您存在严重违反公司规章制度等情形：
- 若您存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、不能胜任工作等，用人单位有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。
若用人单位提出订立固定期限劳动合同：
- 若用人单位在续订劳动合同时提出订立固定期限劳动合同，而您未明确表示反对，则可能被视为双方协商一致订立固定期限劳动合同。但在此情况下，您仍有权要求用人单位支付经济补偿金（若合同到期不续签）。
温馨提示：在处理此类劳动纠纷时，建议您保持冷静，收集并保存好相关证据，以便在协商、仲裁或诉讼过程中维护自己的合法权益。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。