结论：公司能否在签订3年合同后仅工作5个月就提出解除合同，这取决于解除合同的原因和程序是否符合法律规定。以下从不同角度进行分析：
公司合法解除合同的情况：
- 法定解除事由：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果劳动者存在严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。在此情况下，即使合同期限为3年，公司也有权在发现这些情形后立即解除合同。
- 协商一致解除：如果公司与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。这种情况下，双方可以就解除合同的时间、经济补偿等事项进行协商，并达成一致意见。因此，如果双方同意在合同签订后5个月解除合同，这也是合法的。
公司违法解除合同的情况：
- 无合法理由解除：如果公司没有法定解除事由，也没有与劳动者协商一致，就单方面解除劳动合同，这属于违法解除。根据《劳动合同法》的规定，公司应当向劳动者支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，在这种情况下，公司需要支付劳动者半个月工资作为经济补偿，并额外支付半个月工资作为赔偿金，共计一个月工资。
- 未履行法定程序：即使公司有合法解除事由，但如果未按照法定程序进行解除，如未提前通知劳动者、未听取劳动者意见等，也可能构成违法解除。这种情况下，公司同样需要承担违法解除的法律责任。
建议：
- 对于公司而言，在解除劳动合同时，务必确保有合法解除事由，并按照法定程序进行操作，以避免违法解除的法律风险。
- 对于劳动者而言，如果公司提出解除合同，应要求公司说明解除原因，并核实是否符合法律规定。如果认为公司违法解除，可以依法向劳动争议调解仲裁机构或人民法院申请仲裁或提起诉讼，维护自己的合法权益。
可能后果：
- 如果公司合法解除合同，劳动者将失去工作，但可能获得相应的经济补偿（如协商一致解除时）。
- 如果公司违法解除合同，劳动者不仅有权要求公司继续履行合同或支付赔偿金，还可能因此获得额外的经济补偿和声誉上的支持。
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