针对您提出的“私人公司不交社保签劳动合同是否合法”的问题，我可以明确地告诉您，这种行为是不合法的，它同时违反了《中华人民共和国劳动合同法》和《中华人民共和国社会保险法》的相关规定。
一、关于未签订书面劳动合同的法律分析
根据《劳动合同法》的规定，用人单位在建立劳动关系时，应当与劳动者订立书面劳动合同。如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么它需要向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。如果满一年仍未订立书面劳动合同，则视为双方已经订立了无固定期限劳动合同。因此，不签订书面劳动合同，用人单位将面临法律上的不利后果。
二、关于未缴纳社会保险的法律分析
《社会保险法》明确规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工办理社会保险登记，并按时足额缴纳社会保险费。这是用人单位的法定义务，必须履行。如果用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费，社会保险行政部门将责令其限期改正；逾期不改正的，将对用人单位处以罚款，并可能对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员也处以罚款。此外，劳动者还有权以此为由解除劳动合同，并要求用人单位支付经济补偿金。
三、劳动者应如何维护自己的权益
面对私人公司不交社保、不签合同的情况，劳动者可以采取以下措施来维护自己的权益：
与公司协商：首先尝试与公司进行友好协商，明确表达自己的诉求，要求公司签订劳动合同并补缴社保。
收集证据：在协商过程中，务必注意收集相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明自己与公司之间存在劳动关系。
向劳动监察部门投诉：如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉，请求其介入调查并处理。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并责令其改正。
申请劳动仲裁或提起诉讼：在必要时，劳动者还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。
综上所述，私人公司不交社保、不签合同的行为是违法的，劳动者有权采取一系列措施来维护自己的权益。希望这些信息能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。