结论：卫生院未经基层公卫人员同意就辞退的行为，可能构成违法解除劳动合同，被辞退人员有权要求卫生院承担相应的法律责任。以下从多个角度进行分析：
一、法律背景与规定
劳动合同的解除：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者解除劳动合同，应当遵循法定程序和条件。未经劳动者同意，用人单位不得随意解除劳动合同。
违法解除劳动合同的后果：
- 如果用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。
二、具体分析
卫生院的行为性质：
- 卫生院未经基层公卫人员同意就辞退，这一行为很可能构成违法解除劳动合同。除非卫生院能够证明辞退行为符合法律规定的特定情形（如劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职等），否则将承担违法解除的法律责任。
被辞退人员的权利：
- 被辞退人员有权要求卫生院继续履行劳动合同，即恢复劳动关系，继续在卫生院工作。
- 如果被辞退人员不希望继续履行劳动合同，或者劳动合同已经无法继续履行，被辞退人员有权要求卫生院支付赔偿金。
赔偿金的计算：
- 赔偿金的具体数额取决于被辞退人员在卫生院的工作年限、工资水平等因素。一般来说，赔偿金为经济补偿金的两倍，经济补偿金则按照被辞退人员在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、建议与行动
收集证据：
- 被辞退人员应尽快收集与劳动关系、辞退行为相关的证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等，以便在后续的法律程序中证明自己的权益。
与卫生院协商：
- 在收集证据的同时，被辞退人员可以尝试与卫生院进行协商，寻求和解或达成赔偿协议。这有助于快速解决问题，减少法律纠纷的成本和时间。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，被辞退人员可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求卫生院承担违法解除劳动合同的法律责任。劳动仲裁机构将依法进行裁决，保护劳动者的合法权益。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，被辞退人员还可以向人民法院提起诉讼，通过司法程序维护自己的权益。
后续思考：在处理此类劳动纠纷时，被辞退人员应保持冷静和理性，依法维护自己的权益。同时，也建议卫生院在未来的管理中更加注重合法性和合规性，避免类似纠纷的发生。如果你有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。