基层卫生服务站辞退员工是否合法，需根据具体情况来判断，不能一概而论。以下从不同角度为您分析：

1. 合法辞退的情形：

   • 员工存在重大过失：若员工在履行职务过程中存在重大过失，如案例中的护士未核实准确接种者姓名而打错疫苗，给单位造成经济损失，且单位已按照规章制度进行调岗等合理处理，员工仍不服从安排，单位有权根据相关法律法规和规章制度解除劳动合同，此行为合法。
   • 员工严重违反单位规章制度：若员工严重违反单位的规章制度，如长期旷工、偷窃单位财物等，单位有权依据规章制度辞退员工，且无需支付经济补偿。
   • 经济性裁员：在特定情况下，如单位因经营困难需要裁员，且已按照法定程序进行，包括提前说明情况、听取工会或职工意见、向劳动行政部门报告等，单位可以合法辞退员工。

2. 非法辞退的情形：

   • 无合法理由辞退：若单位无正当理由，如仅因员工与领导关系不和、员工提出合理诉求等，便辞退员工，则构成非法辞退。
   • 未按照法定程序辞退：即使员工存在可辞退的情形，若单位未按照法定程序进行，如未提前通知员工、未听取员工意见、未支付经济补偿等，也构成非法辞退。
   • 歧视性辞退：若单位因员工的性别、年龄、种族、宗教信仰等因素而辞退员工，则构成歧视性辞退，是违法的。

法律建议：

• 对于员工而言，若认为单位辞退自己不合法，可以收集相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等，向劳动人事争议仲裁委员会提出仲裁申请，要求单位支付违法解除劳动合同赔偿金等。
• 对于单位而言，若需要辞退员工，应确保有合法理由，并按照法定程序进行，避免引发劳动争议。同时，单位应建立健全的规章制度，明确员工的权利和义务，以及辞退的条件和程序。

可能的法律后果：

• 若单位非法辞退员工，可能需要支付违法解除劳动合同赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿的两倍。
• 若员工因单位非法辞退而遭受其他损失，如精神损害等，也可以要求单位进行赔偿。

总之，基层卫生服务站辞退员工是否合法，需根据具体情况和法律法规来判断。若您遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。